Families of sum rules from current algebra

Summary

By making use of a simple method we obtain different families of sum rules from current algebra. The method allows to understand the relation of the reference frame in which equal-time commutators are considered with the form of the sum rules obtained and dispersion relations. The different contributions to the sum rules are then analysed and it is recognized that besides the contributions which are generally considered, there are others which come from disconnected intermediate states, which play an important role. By discussing in detail theP→∞ sum rule we put in evidence the physical content of these extra terms and how they are responsible for the automatic cancellation of the singularities in the variables which, due to the locality of equal-time commutators, do not appear in the right-hand side of the sum rules. The origin and value of these terms is purely dynamical, they have nothing to do with Schwinger terms and their presence is not related to convergence of the sum rule integrals. It is shown that theassumption that they vanish (so to recover the Fubini sum rule for theP→∞ family) implies superconvergence so that it appears clearly that superconvergence is a purely dynamical assumption and is not related to current algebra or locality of equal-time commutators. The structure of other families of sum rules is also discussed and, in particular, that corresponding to the “Δ→∞” family which appears to be of particular interest.

Riassunto

Usando un metodo semplice otteniamo diverse famiglie di regole di somma dall’algebra delle correnti. Il metodo permette di capire le relazioni tra il sistema di riferimento, in cui si considerano i commutatori e tempi uguali, e la forma delle regole di somma e le relazioni di dispersione. I diversi contributi alle regole di somma vengono poi analizzati e si riconosce che, oltre i contributi considerati generalmente, ci sono altri contributi, che vengono da stati intermedi sconnessi, che rivestono un ruolo importante. Discutendo in dettaglio la regola di somma nelP→∞ poniamo in evidenza il contenuto fisico di questi termini extra e il modo in cui annullano automaticamente le singolarità in quelle variabili che non appaiono a secondo membro delle regole di somma per effetto della località dei commutatori a tempi uguali. L’origine e il valore dei questi termini è puramente dinamico, essi non hanno nulla a che vedere con i termini di Senwinger e la loro presenza non è collegata alla convergenza degli integrali nella regola disomma. Si mostra che l’ipotesi che essi siano nulli (in questo modo si riottiene la regola disomma di Fubini per la famiglia nelP→∞) implica superconvergenza, sicché appare chiaro che la superconvergenza è una ipotesi puramente dinamica e non è collegata all’algebra delle correnti o alla località dei commutatori a tempi uguali. Si discute anche la struttura delle altre famiglie di regole di somma e, in particolare, quella corrispondente al «Δ→∞» che sembra particolarmente interessante.

Резюме

Используя простой метод, мы получаем различные семейства правил сумм из алгебры токов. Этот метод позволяет понять связь системы отсчета, в которой рассматриваются коммутаторы при совпадаюших временах, с формой полученных правил сумм и дисперсионных соотношений. Затем анализируются различные вклады в правила сумм, и выявляется, что помимо вкладов, которые обычно рассматриваются, существуют другие, которые проистекают от несвязанных промежуточных состояний: которые играют важную роль. Обсуждая подробно правило суммP→∞, мы доказываем физическое содержание этих дополнительных членов и как они ответственны за автоматическое взаимное уничтожение сингулярностей в переменных, которые из-за локализации одновременных коммутаторов не появляются в правой стороне правил сумм. Происхождение и величина этих членов являются чисто динамическими, они не имеют ничего общего со швингеровскими членами и их присутствие не связано с расходимостью интегралов в правилах сумм. Показывается, что предположение, что они обращаются в нуль (так, чтобы заново получить правило сумм фубини для семействаP→∞), подразумевает сверхсходимость, так что становится понятным, что сверхсходимость есть чисто динамическое предположение и не связано с алгеброй токов и локальностью одновременных коммутаторов. Также обсуждается структура других семейств правил сумм, и, в частности, правила сумм, соответствующие семейству «Δ→∞», которое, оказывается, особенно интересным.