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Zur Homotopietheorie gefaserter Räume

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Commentarii Mathematici Helvetici

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  1. Alexandroff-Hopf, Topologie (Berlin 1935); S. 112 und 115.—Bezüglich aller auftretenden Begriffe der mengentheoretischen Topologie verweisen wir auf den ersten Teil dieses Buches.

  2. Für eine PunktmengeM⊂R bezeichnen wir mitU(M, ɛ) die ɛ-Umgebung vonM, d. h. die Menge aller Punktep mit ϱ(M,p) = inf ϱ(q,p) ɛ (wo ϱ(x, y) die Entfernung vonx undy∈R bedeutet).

  3. So folgt z. B. aus der Retrahierbarkeit einer Überdeckung 3, daß die Elemente A “den gleichen Homotopietypus” haben (wegen dieses Begriffes vgl. manW. Hurewicz, Beiträge zur Topologie der Deformationen III (Proc. Akad. Amsterdam, 39 [1936], 112–126, insbes. S. 125); ebenso, daß sie gleiche Dimension haben.

  4. Alle betrachteten Abbildungen sind stetig; wir lassen dieses Beiwort gewöhnlich weg.

  5. Wegen der Terminologie und der einfachsten Eigenschaften der Zerlegungen vgl. man 1)Alexandroff-Hopf, Topologie (Berlin 1935); S. 112 und 115.—Bezüglich aller auftretenden Begriffe der mengentheoretischen Topologie verweisen wir auf den ersten Teil dieses Buches. S. 92 und 98.

  6. In der Theorie der “sphere-spaces” vonH. Whitney (Bull. of the Am. Math. Soc., 1937, 785–800) entspricht dem RaumR der BasisraumK des SphärenraumesS(K), dem RaumR * der “totale Raum”G(K) (wenn der SphärenraumS(K) durch eine Überdeckung vonK mit Sphären gegeben ist).

  7. Man vgl.E. Cartan, Groupes finis et continus et l'Analyse Situs (Mémorial des sc. math. 42, Paris 1930) S. 13 (Wirkungsraum heißt dort “espace homogène”).

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  8. Beiträge zur Topologie der Deformationen I (Proc. Amsterdam 38 [1935], 112–119), S. 116 unten.

  9. Vgl.J. Feldbau C. R. 208 (1939), S. 1621. Ferner:H. Seifert, Topologie dreidimensionaler gefaserter Räume (Acta math. 60 [1932]); es sei bemerkt, daß die Forderung der Retrahierbarkeit das Auftreten von “Ausnahmefasern” im Sinne von Seifert ausschließt.—W. Gysin hat kürzlich Faserungen geschlossener Mannigfaltigkeiten in Sphären mit Methoden der Homologietheorie untersucht. (Comm. math. helv., Vol. 14.)

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  10. O sei Ursprung eines Koordinatensystems imR n, und λy der Punkt, dessen Koordinaten das λ-fache der Koordinaten vony∈R n sind.

  11. Die genauen Bedingungen fürn undq sind uns unbekannt; es sei aber bemerkt, daßGysin a. a. O. 9) hat kürzlich Faserungen geschlossener Mannigfaltigkeiten in Sphären mit Methoden der Homologietheorie untersucht. (Comm. math. helv., Vol. 14.) notwendige Bedingungen angegeben hat:q muß Teiler vonn, undq muß gerade sein (oder=1).

  12. H. Hopf, Über die Abbildungen von Sphären auf Sphären niedrigerer Dimension (Fund. math. XXV [1935], 427–440, bes. S. 438 ff.

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  13. Einen andern Beweis der Retrahierbarkeit für den Fallq=2, der sich ähnlich auch beiq=4 (mit Hilfe der Quaternionen) durchführen läßt, habenHopf undRueff (Comm. math. helv. 11 [1938], S. 58) angegeben.

  14. E. Stiefel, Richtungsfelder und Fernparallelismus imn-dim. Mannig-faltigkeiten (Comm. math. helv. 8 [1935], 3–51), bes. S. 8ff.

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  15. Ein Beispiel eines solchen Raumes ist (k=1,m=3) die Mannigfaltigkeit der an dieS n-1 tangentialen orientierten Flächenelemente (vgl. Nr. 17).

  16. das bedeutet: jede UmgebungU enthält eine inU zusammenziehbare Umgebung.

  17. s. 8) Beiträge zur Topologie der Deformationen I (Proc. Amsterdam 38 [1935], 112–119), S. 113.

  18. Vgl. für Gruppenzerlegungen: Hurewicz 8) Beiträge zur Topologie der Deformationen I (Proc. Amsterdam 38 [1935], 112–119), S. 117, Satz VIII.

  19. s. 1)Alexandroff-Hopf, Topologie (Berlin 1935); S. 112 und 115.—Bezüglich aller auftretenden Begriffe der mengentheoretischen Topologie verweisen wir auf den ersten Teil dieses Buches. S. 519, Satz. II.

  20. s. 8) Beiträge zur Topologie der Deformationen I (Proc. Amsterdam 38 [1935], 112–119), S. 118, oben.

  21. H. Hopf, Über die Abbildungen von Sphären auf Sphären niedrigerer Dimension (Fund. math. XXV [1935], 431., Satz II.

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  22. nach welcher Hurewicz Beiträge zur Topologie der Deformationen I (Proc. Amsterdam 38 [1935], 112–119), den Fallq=2 (unter Benützung der Tatsache, daß S3 Gruppenmannigfaltigkeit ist!) behandelt hat.

  23. H. Freudenthal, Über die Klassen der Sphärenabbildungen I (Comp. math. V, 1937, 299–314), bes. S. 301.

    Google Scholar 

  24. T. Wazewski, Sur les matrices dont les éléments sont des fonctions continues (Comp. math. II [1935], 63–68) bes. S. 63).

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  25. Wegen der Definition der Homotopiegruppen vgl. man:Hurewicz Beiträge zur Topologie der Deformationen I (Proc Amsterdam 38 [1935], 112–119),S. 114;H. Freudenthal, Über die Klassen der Sphärenabbildungen I (Comp. math. V, 1937, 299–314), S. 302.

  26. Vgl. Für n ≥2 sind die Homotopiegruppen abelsch;. wir bezeichnen aber auch fürn=1 (Fundamentalgruppe) die Gruppenoperation als Addition

  27. ≈ isomorph, ≈ homomorph.

  28. Beiträge zur Topologie der Deformationen I (Proc. Amsterdam 38 [1935] 112–119), S. 118, Satz XII.

  29. Es ist π k (S n) =0 fürk <n, π n (S n) die unendliche zyklische Gruppe, die von der Klasse der Identität der Sn erzeugt wird, und π n (S 1) = 0, fürn ≥ 2. Beiträge zur Topologie der Deformationen I (Proc. Amsterdam 38 [1935], 112–119), S. 115 oben (diese Aussagen stützen sich auf bekannte Sätze, Kp. XIII).

  30. Wir bezeichnen immer mitG die additive Gruppe der ganzen Zahlen, mitG 2 die Restklassengruppe vonG 2 mod. 2.

  31. Beiträge zur Topologie der Deformationen I (Proc. Amsterdam 38 [1935], 112–119), S. 119.

  32. Wie man direkt einsehen kann, istPH hier nichts anderes als die Freudenthal'sche Einhängung € Beiträge zur Topologie der Deformationen I (Proc. Amsterdam 38 [1935], 112–119),; wir werden dies später (Nr. 10h und 13a) im Rahmen allgemeinerer Überlegungen zeigen.

  33. E. Stiefel, Richtungsfelder und Fernparallelismus imn-dim. Mannigfaltigkeiten (Comm. math. helv. 8 [1935], S. 19, Satz 8.

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  34. Wegen, Nr. 4; wegen π1(∏ n )Whitney (Bull. Am. Math. Soc. 43 [1937], S. 798).

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  35. Der Beweis wird demnächst veröffentlicht werden.

  36. etwa so, wie inSeifert-Threlfall, Lehrbuch der Topologie, S. 156, in § 43 der dort als Beispiel 1 angeführte Satz beweisen wird.

  37. Proc. Akad, Amst. 38 (1935), S. 522, Satz IV, in Verbindung mit Satz II.

  38. Definition der Einhängung, S. 303.

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  39. s.23), S. 300, Satz I.

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  40. s. Freudenthal23), S. 301. Fener.:L. Pontrjagin (C. R. Acad. Sc. de l'U.R.S.S. [1938], XIX, 147–149).

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  41. L. Pontrjagin (C. R. Acad. Sc. de l'U.R.S.S. [1938], XIX, 361–363).

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  42. Dieser Satz und ebenso das Korollar zu Satz 17 ergeben sich leicht aus allgemeinern Betrachtungen über den HomomorphismusT m k von π n (S m) in sich, auf welche wir an anderer Stelle eingehen werden. Wir ziehen es vor, hier einen kurzen kirekten Beweis für den Hilfssatz anzugeben.

  43. H. Hopf, Über die Abbildungen der 3-dimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche (Math. Ann. 104, [1931], 637–655), (vgl. auch).H. Hopf, Über die Abbildungen von Sphären auf Sphären niedrigerer Dimension (Fund. math. XXV [1935], 427–440), bes, S. 438 ff. Beweis, daß ψ ein Charakter von π 3 (S 2) ist: Freudenthal)H. Freudenthal, Über die Klassen der Sphärenabbildungen I (Comp. math V, 1937, 299–314), S. 305.

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  44. s.23), Sat II.

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  45. s.23), S. 304 (Nr. 3.8).

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  46. vgl.Stiefel14), § 4.1.

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  47. J. Feldbau9), S. 1623.

    Google Scholar 

  48. s.14), S. 45.

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  49. E. Cartan, La topologie des groupes de Lie (act. scient. et industr. 358). S. 14.

  50. Ein analoger Satz gilt offenbar für den Linienelementraum jeder MannigfaltigkeitM n mit der Charakteristik 0. Es ist bemerkenswert, daß in diesem Falle sowohl Homotopie-als auch Homologiegruppen des Linienelementraumes mit denen des topologischen ProduktesM n×Sn−1 übereinstimmen (wegen der Homologiegruppen vgl.W. Gysin hat kürzlich Faserungen geschlossener Mannigfaltigkeiten in Sphären mit Methoden der Homologietheorie untersucht. (Comm. math. helv., Vol. 14).

  51. Identifiziert manR m+1 mitR m+11 , so ists(u) derjenige Punkt von ∑m, den man durch Spiegelung von ∑m an dem durchu gehenden Durchmesser aus dem Punkt (1,0,...,0) ε R m1 erhält. (Diese bzw. eine ähnliche Abbildung wird von Hopf and verschiedenen Stellen, z. B.12), benützt.)

  52. L. Pontrjagin, Über die topologische Struktur der Lie'schen Gruppen (comm. math. helv. 13, S. 277–283). Das wichtige Ergebnis, daßA 2 nicht dem topologischen ProduktS 3×S5 homöomorph ist, hatPontrjagin ohne Beweis schon früher ausgesprochen: Homologies in compact Lie groups (Recueil math. de Moscou, Bd. 6 [48], 389–422), S. 417.

  53. Wir weisen darauf hin, daß es nicht bekannt ist, ob außerS 1,S 2 undS 7 (vgl.14), S. 45) noch andere Sphären parallelisierbar sind; hingegen hatE. Stiefel (Comm. math. helv. 13 [1941], 201–218) bewiesen, daß unter den reellen projektiven Räumen höchstens die der Dimensionn = 2π parallelisierbar sein können.

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  54. gemeint sind immer tangentiale Flächenelemente derS m.

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  1. Zürich

    Beno Eckmann

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  1. Beno Eckmann
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Eckmann, B. Zur Homotopietheorie gefaserter Räume. Commentarii Mathematici Helvetici 14, 141–192 (1941). https://doi.org/10.1007/BF02565616

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