A test of convergence of Fourier series with respect to multiplicative systems, analogous to the Jordan test

Abstract

В работе рассматрива ется вопрос о распрос транении признака Жордана на м ультипликативные системы, порожденные неограниченной цело численной последовательность ю {p _n} ^∞_n=0 (p₀=1, Р_n≧2 дляn≧2). Осн овной результат статьи: Если в точке не прерывностиx функцииf(t)∈ V(G) вьшолнено условие

$$V\left( {x \dotplus \left[ {\frac{1}{{m_{n + 1} }}, \frac{1}{{m_n }}} \right];f} \right) = o\left( {\frac{1}{{\ln p_{n + 1} }}} \right), n \to \infty ,$$

((1))

где m_n=p₁...p_n,тo ряд Фурьеf (t) с ходится к ней в точкех, причем замена в (1) о на О сходимости ряда Фурьеf(t) в точкех∈G не гарантирует.

Таким образом, сущест вует последовательн ость {p _n и непрерывная функция ограниченной вариации (следовател ьно, и непрерывная мон отонная функция)f(t), ряд Фурье к оторой pасходится в 'Некоторо й точке; в работе показ ана и возможность вышеука занной расходимости для любых {p _n с sup _n p _n =∞.

В случае разрывных фу нкций условие (1) также не гарантирует сходимо сти ряда Фурье (даже для систем с sup _n p _n < ∞), ибо в работе приведен пример функции Θ_x(t) тaк ой что

$$V\left( {x \dotplus \left[ {\frac{1}{{2^{n + 1} }}, \frac{1}{{2^n }}} \right],\Theta _x (t)} \right) = 0, n = 1,2, \ldots ,$$

однако ряд ФурьеΘ _x (t) п о системе Уолша—Пэли расходится в точкех.