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Literatur
Math. Ann.65 (1908), S. 261–281. — Für die Ausfüllung gewisser Lücken in dieser Betrachtung vgl. meinen in den Math. Ann.86 (1922) erscheinenden Aufsatz “Zu den Grundlagen der Cantor-Zermeloschen Mengenlehre” sowie eine weitere, an meinen Jenaer Vortrag (Jahresb. d. D. Math.-Ver.30 (1921), S.97 f.) anknüpfende Arbeit. (Zusatz bei der Korrektur.)
Die Axiomatik des Herrn Schoenflies (Kon. Akad. v. Wetenschappen te Amsterdam, Proceedings22 (1920), S. 784–810; Math. Ann.83 (1921), S. 173–200), die ein sehr umfangreiches Axiomensystem benutzt, dessen Reduzibilität nur durch eine Unabhängigkeitsuntersuchung zu klären ist, beschränkt sich bewußt auf ein speziellesTeilgebiet der Mengenlehre. (Zusatz bei der Korrektur.)
Z. B. Genocchi-Peano, Differentialrechn. u. Grundz. d. Integralr. (deutsch v. Bohlmann u. Schepp, Leipz. 1899), S. 353f. Vgl. auch sachlich und für Literaturangaben: A. Loewy, Lehrb. d. Algebra I (Leipz. 1915), S. 1 ff.; J. A. Gmeiner und H. Hahn im Jahresber. d. D. Math.-Ver.30 (1921), S. 82–91 und 170–179.
Vgl. z. B. die Darstellung bei F. Hausdorff, Grundzüge der Mengenlehre (Leipz. 1914), S. 46f., 453. Ferner G. Hessenberg im Taschenbuch f. Mathematiker u. Physiker, 3. Jhrg. (Leipz. u. Berl. 1913), S. 70/1.
Vgl. die Darstellung in §2 der genannten Abhandlung Zermelos.
Gewisse einfache spezielle Überlegungen aus der Mengenlehre (im Anschluß an eine geeignete Definition des Mengenbegriffs) werden auch im folgenden nicht vermieden (vgl. z. B. S. 176f.).
Den allgemeinen, nicht der Mathematik angehörigen Begriff eines Bereichs (Klasse) von Elementen habe ich (vgl. Zermelo, a. a. O.) nicht erörtern zu sollen geglaubt und auch die Frage, wann zwei Bereiche verschieden sind, als in durchaus realistischer Weise beantwortet vorausgesetzt (vgl. Fußnote 25 auf S. 161).
Daß diese gegenseitige Verflechtung, auf die an anderer Stelle noch eingegangen werden soll, nicht etwa einen Zirkel bedeutet, erhellt aus der Entwicklung in §3.
Vgl. O. Veblen, Transact. of the Amer. Math. Soc.5 (1904), S. 346 ode A. Fraenkel, Journ. f. Math.141 (1912), S. 76.
Schärfere Kennzeichnung dieses Sachverhalts gibt Satz 12 am Schluß dieser Arbeit und die Fußnote dazu.
Vgl. jedoch für diesen Nachweis meine in Fußnote 1 erwähnte Arbeit.
A. Fraenkel, Einleitung in die Mengenlehre (Berlin 1919), S. 153 ff.; vgl. F. Bernstein, Jahresber. d. D. Math.-Verein.28 (1919), S. 74 f.
Vgl. F. Hartogs in Math. Ann.76 (1915), S. 438.
Für das Verhältnis der Definitionen 2, 4, 5, 6 zum Auswahlprinzip sei auf Bemerkungen in meinen in Fußnote 1 angeführten Aufsätzen und in der Fortführung der gegenwärtigen Arbeit verwiesen.
Bereiche werden durch große deutsche Lettern bezeichnet.
Dieser Zusatz wird überflüssig, falls man die Addition nur für Bereiche von mindestens zwei Elementen zuläßt. Daß übrigens ein Bereich, dessen einziges Element eine KZ ist, eine Menge darstellt, ist nach Ax. II klar.
Man könnte auch in Ax. V eine Existenzforderung mit einschließen, nämlich, wenn eine Summe, in der Klammern vorkommen, vorgelegt ist, die Existenz der entsprechenden klammerfreien Summe fordern. Hierdurch würden sich gewisse Vereinfachungen ergeben (vgl. Fußnote 54, S. 186). Doch wurde von einer solchen Erweiterung des Axioms abgesehen, da sie nicht erforderlich ist.
Das Auswahlprinzip wird hierdurch nicht postuliert; vielmehr ist das Erfülltsein der Voraussetzungen nurVorbedingung für die nachfolgende Forderung.
Zwei derartige Bereiche (Mengen) sind verschieden, sobald für den einen Bereich auch nur eine der individuell bestimmten KZen anders gewählt ist als für den anderen Bereich; die zwei fraglichen KZen brauchen hierbei nicht verschieden im Sinn von “ungleich” zu sein.
Betreffs Ax. I (und VII) vgl. S. 167 f.
Unverändert kann sich die Multiplikation der Ordnungszahlen keinesfalls dem Multiplikationsgesetz der KZen fügen, ob dieses nun in Ax. VIII oder in anderer Form zum Ausdruck komme. Denn bekanntlich kann die zu einer wohlgeordneten Menge wohlgeordneter Mengen gehörige (ungeordnete) Verbindungsmenge (Komplexmenge) im allgemeinen überhaupt nicht in der hierfür in Betracht kommenden Weise (wohl)geordnet werden, weshalb man unter dem Produkt wohlgeordneter Mengen nur eine geordneteTeilmenge jener Verbindungsmenge zu verstehen pflegt. Vgl. S. 168.
Man braucht hiernach, um Ax. VIII anzuwenden, nicht etwa erst nach vollständigen additiven Zerlegungen zu suchen, sondern kann sogleich wie am Ende des nächsten Absatzes schließen.
Vgl. Grundlagen der Geometrie, 3. Aufl. (Leipzig u. Berlin 1909), S. 22 ff.; Jahresber. d. D. Math.-Verein.8 (1900), S. 180–184.
Wollte man auch die Null als finit betrachten (vgl. S. 159), so zeigte dieser wie auch der im folgenden angeführte Bereich, daß es erforderlich ist,mindetens zwei finite KZen (neben einer transfiniten) in Ax. III zu postulieren; vgl. S. 160.
Es läßt sich übrigens auch ein — allerdings wesentlich komplizierterer —Bereich angeben, in dem es unter den transfiniten KZenkeine kleinste gibt. während keine finite KZ existiert und die übrigen Axiome erfüllt sind.
Auch die Festsetzung, daß eine Multiplikation überhaupt nicht ausführbar sein soll (wodurch die Axiome VIII und IX gegenstandslos werden), würde den gewünschten Zweck erfüllen.
In diesem Paragraphen werden nur die Axiome I–VI verwendet.
Eine solche Bezeichnungsweise wird im folgenden öfters verwandt.
Vgl. Fußnote 40.
Wie in der Mengenlehre kann hier nichta<c geschlossen werden, wenn auch stetsa k <c k .
Kurz etwa: Es gibt eine Zahl, zu jeder eine nächste, keine zwei gleichen und keine außer den damit geforderten. Die letzte Eigenschaft ermöglicht die Anwendung der vollständigen Induktion (worunter hier stets die gewöhnliche, finite Induktion verstanden wird). Vgl. die Literaturangaben in Fußnote 3.
Diese Summe existiert, da z. B. {t, f, 2f, 3f, ...} eine unmittelbare Menge ist; entsprechende Überlegungen werden im folgenden öfter benutzt und nicht ausdrücklich ausgesprochen.
Daß die Kriterien der Mengenexistenz (Def. 1 und 2) hierbei stets erfüllt sind, leuchtet ein, da ja jede KZ der Menge gleich oder kleiner als t ist.
Da nach Ax. VIII die vorangehende Summe existiert, so existiert nach Def. 2 und Ax. I auch die Summe, die aus ihr durch Weglassung des Summandenchervorgeht.
Vgl. Fußnote 40, S. 172.
Die vorangehenden Überlegungen werden durch folgende Deutung anschaulicher werden: Sie zeigen im besonderen, daß ein System, das außer den gewöhnlichen KZen der Mengenlehre noch die reellen Zahlen — oder, auch nur eine einzige nicht ganzzahlige reelle Zahl — enthält, notwendig eine (von 0-verschiedene) “unendlichkleine” Zahl enthält, und daß die Existenz einer solchen zu Widersprüchen (mit Satz 8) führt (im angeführten Fall lassen sich speziellere Widersprüche leicht angeben). Kommt z. B 1/2 in dem System vor, so ist (1/2)No eine derartige Zahl; es kann nämlich nicht (1/2)No=0 sein, weil (No 1/2)No=Σ(1/2)No nicht gleich Σ0No=0 ist.
Will man Ax. X in dem auf S. 181 angedeuteten Sinne heranziehen, so bedarf man ersichtlich der hier zu Satz 10 führenden Überlegungen überhaupt nicht.
n bedeutet hier und im folgenden stets eine beliebige natürliche Zahl.
Bei der Addition tritt stets dieser erste Fall ein.
DieExistenz der in Frage kommenden Summen von lauter der Einheit gleichen Summanden läßt sich in naheliegender Weise aus der Existenz gewisser durch Ax. VIII gesicherter Summen erschließen.
Ausführlicher soll auf diese Fragen in der Fortführung des gegenwärtigen Aufsatzes eingegangen werden.
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Herrn K. Hensel zum sechzigsten Geburtstag.
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Fraenkel, A. Axiomatische Begründung der transfiniten Kardinalzahlen. I. Math Z 13, 153–188 (1922). https://doi.org/10.1007/BF01485286
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