Sur les forces exercées par un fluide visqueux sur un obstacle

Résumé

Considérons l'écoulement permanent d'un fluide visqueux incompressible autour d'un corps solide fixe de dimensions finies et de forme quelconque, le mouvement au loin étant un courant uniforme de vitesseU _o parallèle à l'axeO _x. je dirai qu'un tel mouvement est régulier d'ordrek à l'infini (k>0) si,u, v, w étant les composantes de la vitesse en un pointM etr la distance deM à l'origineO, les produitsr ^k (u−U _o),r ^k v etl ^kw tendent vers zéro quandr augmente indéfiniment et s'il existe des conditions analogues pour les dérivées partielles des deux premiers ordres deu, v etw. Je démontre que si l'écoulement considéré ci-dessus est régulier d'ordrek à l'infini, il faut quek<2; en d'autres termes il n'existe pas d'écoulement pour lequelk soit égal ou supérieur à 2. Je donne les résultats correspondants dans les cas où l'on prend au lieu des équations exactes soit les équations de Stokes, soit les équations d'Oseen.

La résultante et le moment résultant des forces exercées par le fluide sur l'obstacle peuvent s'exprimer à l'aide des éléments à l'infini de l'écoulement. En utilisant ces expressions on voit que la résultante des forces est nulle pourvu que les quantitésu−U _o,v etw tendent assez rapidement vers zéro quandr augmente indéfiniment. On a cru pouvoir s'appuyer sur ce fait pour parler de l'extension du paradoxe de d'Alembert au cas d'un fluide visqueux. Je détermine la condition précise que doivent vérifier les quantitésu−U _o,v etw pour que la résultante des forces exercées sur l'obstacle soit nulle; je montre que cette condition estk≥2. Or dans ce cas on a vu qu'il n'existe pas d'écoulement du type considéré; il ne peut donc être question d'extension du paradoxe de d'Alembert à un fluide visqueux et la démonstration de la nullité de la résultante des forces est illusoire: elle est faite sur une solution en réalité inexistante.