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Literatur
Für quadratischimaginäre Grundkörperk habe ich die entsprechenden Untersuchungen schon durchgeführt in der Arbeit:Gut, Max, Zur Theorie dor Klassenkörper der Kreiskörper, insbesondere der Strahlklassenkörper dor quadratisch imaginären Zahlkörper. Comment. Math. Helvet., vol. 15 (1942/43), pg. 81–119. In der vorliegenden Arbeit wird sie mitG. I. zitiert, und die Bezeichnungen sindmutatis mutandis natürlich hier die gleichen wie dort.
InG. I. bedeutet im 3. Alinea, pg. 81, der KörperK|f| natürlich auch den Sinchlklassenkörper, der zur vollständigen Idealklassengruppe mod. f gohört. Die Bencichnung „Führer” ist an jener Stelle so gebraucht worden, wie sieRud. Fueter in coinca: Vorlesungen über die singulären Moduln und die komplexe Multiplikation der elliptischen Funktionen, 1. Teil (1924), 2. Teil (1927), B. G. Teubner, Dellin und Leipzig, pg. 109 und pg. 263, verwendet, während sonst, „Führer” inG. I. und in der vorliegenden Arbeit natürlich immer die Bedeutung hat, wie dieses Wort bei Talvai undHasse gebraucht wird; vgl.Takagi, Teiji, Über eine Theorie des rolativ Abelschen Zahlkörpers, Journal of the College of Science, Imp. Univ. of Tokyo, Bd. 41, Art. 9 (1920), undHasse, Helmut, Bericht über neuere Untersuchungen und Probleme aus der Theorie der algebraischen Zahlkörper, Jahreabericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, Bd. 35 (1926), pg. 1–55 und Bd. 36 (1927), pg. 233–311.
Für f=1 istk|1| schon bestimmt worden inG. I., pg. 87.
Wie inG. I. nennen wir ein Idealungerade, wenn es durch keinen Primidealteiler von (2) teilbar ist,gerade, wenn es vom Einheitsideal verschieden und nur durch Primidealteiler von (2) teilbar ist.
Beweis wie in Abschnitt 2.
InG. I., pg. 101 bis pg. 103, ist beim 2. Hauptfall im 1. und 2. Unterfallp≠3 voranszusetzen, und es ist dann noch der Fallp=3gesondert zu betrachten. Es gibt daher zwei weitere Unterfälle, je nachdem p in k(√−3) ein Primideal 2. Relativgrades wird oder sich in k(√−3) in zwei voneinander verschiedene Primideale vom 1. Relativgrad zerlegt. Die Ordnung vonG bleibtn=p h−1 (p−1), aber die Werte für dien j undv j sind die gleichen wie im Schema pg. 103. Das auf pg. 102 angegebene Resultat bleibt auch in diesen beiden Unterfällen erhalten. Im Falle d), pg. 115/116, sind die beiden Unterfällep≠3 oderp=3, dann aberw≧3einerseits, undp=3,w=1 oderw=2anderseits zu betrachten. Alle angeführten Schlüsse bleiben erhalten.
Fallsp=3 ist, istc(p) schon inK‖1‖, da es ja ink‖1‖ enthalten ist.
Daß alle diese drei Unterfälle auch wirklich auftreten können, sieht man sofort an konkreten Beispielen. Vgl. z. B. die Tabellen am Schlusse des Buches:J. Sommer, Vorlesungen über Zahlentheorie, Einführung in die Theorie der algebraischen Zahlkörper, B. G. Teubner, Leipzig und Berlin, 1907; oderC. F. Degen, Canon Pellianus sive Tabula simplicissimam aequationis celebratissimae:y 3=ax 2+1 solutionem, pro singulis numeri dati valoribus ab 1 usque ad 1000 in numeris rationalibus iisdemque integris exhibens. Hafnise, apud Gerhardum Bonnierum, 1817.
Auch hier sieht man wieder sofort an konkreten Beispielen, daß diese drei Unterfälle alle wirklich auftreten können.
Auch hier sieht man wieder an konkreten Beispielen, daß beide Unterfälle wirklich auftreten können.
Man beachte hiebei, daß (ε−l) (έ−l)=−(ε+έ), ferner (ε+1) (έ−l)= (ε+έ), endlich ε2−1=(ε−1) (ε+1)ist.
Im Falle d), pg. 115/116, sind die beiden Unterfällep≠3 oderp=3, dann aberw≧3einerseits, undp=3,w=1 oderw=2anderseits zu betrachten. Vgl. hier Anmerkung 6.
Dabei giltp als I. Potenz vonp.
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Herrn Constantin Carathéodory zum siebzigsten Geburtstage gewidmet!
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Gut, M. Zur Theorie der Strahlklassenkörper der quadratisch reellen Zahlkörper. Commentarii Mathematici Helvetici 16, 37–59 (1943). https://doi.org/10.1007/BF02568563
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