Chaos in nonlinear paradoxical games

Summary

Paradoxical games are nonconstant sum conflicts, where individual and collective rationalities are at variance and refer to a dyadic antagonism where the contestants blackmail each other. The state space dynamics of a class of such games has been previously studied in the planar case of two variablesx ₁,x ₂ (representing the propensities of the two parties to cooperate), for which phase space portraits have been obtained for a wide range of control parameters. In this paper, we extend the analysis to 3 dimensions, by allowing two of these parameters (the so-called «tempting factors») to oscillate in time. We observe on a Poincaré surface of section that the invariant manifolds of twounstable fixed pointsU ₁ andU ₁ intersect, and form heteroclinic and homoclinic orbits. Thus, sufficiently close toU ₁ andU ₂, one finds «horseshoe» chaos and extremely sensitive dependence to initial conditions. Moreover, since the equations of motion can be written in Hamiltonian form, all the known phenomena of periodic, quasi-periodic and chaotic orbits can be observed around twostable fixed points, where the two parties become «deadlocked» in an inconclusive exchange that never ends.

Riassunto

I giochi di paradossi sono conflitti di somma non costante in cui razionalità individuale e collettiva sono in varianza e si riferiscono ad un antagonismo diadico dove i contestatori si ricattano l’un l’altro. La dinamica dello stato nello spazio di una classe di tali giochi è stata precedentemente studiata nel caso planare di due variabilix ₁ ex ₂ (che rappresentano le tendenze delle due parti a cooperare), per le quali sono state ottenute descrizioni di fase nello spazio per un’ampia gamma di parametri di controllo. In questo lavoro si estende l’analisi a tre dimensioni permettendo a due di questi parametri (i cosidetti «fattori attraenti») di oscillare nel tempo. Si osserva su una superficie di Poincaré di sezione che i multistrati invarianti di due punti fissiinstabili U ₁ eU ₂ si intersecano formando orbite eterocline e omocline. Sufficientemente vicini aU ₁ eU ₂ si trova un caos a «ferro di cavallo» e una dipendenza estremamente sensibile alle condizioni iniziali. Inoltre, poiché le equazioni di moto possono essere scritte sotto forma di hamiltoniana tutti i fenomeni noti di orbite periodiche, quasi-periodiche e caotiche possono essere osservati intorno a due punti fissistabili dove le due parti arrivano ad un punto morto in uno scambio inconclusivo che non finisce mai.

Резюме

Парадоксальные игры представляют конфликты с непостоянной суммой, где индивидуальная и коллективня рациональности находятся в противоречии и относятся к двоичному антагонизму, где соперники конкурируют друг с другом. Динамика пространства состояний для класса таких игр ранее исследовалась в плоском случае двух переменныхx ₁ иx ₁ (представляющих склонности двух команд к кооперации), для которых было получено описание фазового пространства для широкой области контролируемых параметров. В этой статье, мы обобщаем анализ на случай трех измерений, что позволяет двум из этих параметров (тах называемым» факторы соблазна») осциллировать во времени. Мы наблюдаем на сечении поверхности Пуанкаре, что инвариантные множества двух неустойчивых фиксированных точекU ₁ иU ₂ пересекаются и образуют гетероклинные и гомоклинные орбиты. Следовательно достаточно близко кU ₁ иU ₂, можно обнаружить «подковообразный» хаос и чрезвычайно чувствительную зависимость к начальным условиям. Более того, так как уравнения движения могут быть переписаны в гамильтоновой форме, то все известные явления периодических, квазипериодических и хаотических орбит могут наблюдаться между двумя устойчивыми фиксированными точками, где две команды оказываются «блокированными» в состоянии обмена которое никогда не заканчивается.