Sunto
In alcuni precedenti lavori l'A. si è occupato dei problemi variazionali di ordinen (n≥2), in forma ordinaria, nei quali cioè si deve rendere minimo un integrale
e, estendendo il metodo diretto fondato dalTonelli pern=1, ha dato, oltre alle condizioni necessarie e a quelle sufficienti per la semicontinuità degli integrali I [n]C[n] , teoremi di esistenza del minimo.
Nella presente Memoria, nella quale l'A. prosegue lo studio intrapreso, occupandosi delle equazioni diEulero, relative ai problemi in questione, stabilisce le diverse forme che può assumere tale equazione a seconda delle ipotesi, che si fanno sia sulla funzione, da cui è definita la curva minimante, sia sulla funzionef.
Poi giovandosi dei teoremi di esistenza del minimo già dati, ed anche per altra via, l'A. stabilisce, sotto opportune condizioni, teoremi di esistenza dell'estremo e delle estremali di ordinen, sia « in piccolo », sia in campi comunque grandi.
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References
Per la bibliografia vedi i luoghi citati in:S. Cinquini,Sopra l'esistenza della soluzione nei problemi di Calcolo delle Variazioni di ordine n (« Annali della R. Scuola Normale Superiore di Pisa », Serie II, Vol. V (1936), pp. 169–90).
L. Tonelli,Fondamenti di Calcolo delle Variazioni. Due Volumi (N. Zanichelli, Bologna, 1921–1923).
VediS. Cinquini, luogo cit. in (1), § 1, n.o 2, ed ancheS. Cinquini,Sopra una condizione sufficiente per la semicontinuità degli integrali dei problemi variazionali di ordine n (« Annali di Matematica pura e applicata », Serie IV, T. XV (1936–7), pp. 77–86).
VediS. Cinquini, luogo cit. in (1), §§ 2 e 3, ed ancheS. Cinquini,Nuovi teoremi di esistenza dell'estremo in campi illimitati per i problemi di Calcolo delle Variazioni di ordine n (« Annali della R. Scuola Normale Superiore di Pisa », Serie II, Vol. VI, (1937)).
S. Cinquini,Sopra le condizioni necessarie per la semicontinuità degli integrali dei problemi variazionali di ordine n (« Annali della R. Scuola Normale Superiore di Pisa ». Serie II, Vol. VI (1937), pp. 149–178).
VediL. Tonelli,Sulle proprietà delle estremanti (« Annali della R. Scuola Normale Superiore di Pisa », Serie II, Vol. III (1934), pp. 213–237), n.o 1.
VediL. Tonelli,Sulle equazioni di Eulero nel Calcolo delle Variazioni (« Annali della R. Scuola Normale Superiore di Pisa », Serie II, Vol. IV (1935), pp. 191–216), n.o 10.
VediS. Cinquini, luogo cit. in (4), § 1, n.o 1; ove trovansi anche le definizionidi intorno (ρ)n di una curva C[n],di classe completa di curve di ordine n, ecc..
VediS. Cinquini, luogo cit. in (5), § 5, n.o 12.
Questa proprietà è stata dimostrata in altro modo daA. Haar, in:Ueber eine Verallgemeinerung des Du Bois Reymond'schen Lemma's (« Acta Litterarum ac Scientiarum R. Universitatis Hungaricae Francisco-Josephinae », T. I (1922-3), pp. 33–38).
VediL. Tonelli, opera cit. in (2), Vol. II, n.i 96,b) e 34,a).
Per questa definizione vediS. Cinquini, luogo cit. in (1), n.o 1, s).
VediL. Tonelli, opera cit. in (2), Vol. II, n.i 96,d) e 34,d).
VediL. Tonelli, idem n.o 96,d).
VediL. Tonelli, luogo cit. in (6), n.i 3 e 4.
VediL. Tonelli, luogo cit. in (6), n.i 5 e 6.
Pern=1, vediL. Tonelli, opera cit. in (2), Vol. II, n.o 98. È bene ricordare che la variazione\(\bar \delta y^{\left( j \right)} \) dellay (j)(x), (j=1, 2,...,n), è la derivata di ordinej della variazione\(\bar \delta y\) dellay(x).
VediS. Cinquini, luogo cit. in (1), § 2, n.o 5.
VediL. Tonelli, luogo cit. in (7), n.i 3, 11, 12, 13.
VediL. Tonelli, opera cit. in (2), Vol. II, n.o 128.
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Lavoro eseguito nel Seminario Matematico della R. Scuola Normale Superiore di Pisa.
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Cinquini, S. Sopra le equazioni di Eulero dei problemi variazionali di ordinen . Annali di Matematica 16, 61–100 (1937). https://doi.org/10.1007/BF02414287
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF02414287