Zusammenfassung
Der Kontinuitätssatz für analytische Flächen (Math. Ann. 113) wird zum Beweise des Satzes vonF. Severi über die Fortsetzung holomorpher und meromorpher Funktionen reeller und komplexer Veränderlichen vom Rande eines Gebietes ins Innere benutzt. Dadurch kann die Severische Aussage weiter ausgedehnt werden.
Sodann werden die Ergebnisse auf Punktmengen in vollständigen offenen komplexen Mannigfatigkeiten übertragen. Abschliessend werden Analoga zum Kontinuitätssatz behandelt (und Folgerungen daraus gezogen), die als Objekte normale Familien und analytische Flächen an Stelle einzelner analytischer Funktionen haben.
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Bibliografia
F. Severi, Una proprietà fondamentale dei campi di olomorfismo di una funzione analitica di una variabile reale e di una variabile complessa, « Atti Accad. naz. Lincei », Rend. VI,15 (1932), 487–490, und:A proposito d'un teorema di Hartogs, « Comm. math. helv. »,15 (1943), 350–352.
Siehe zu dem Problem auchS. Bochner andW. T. Martin,Several complex variables, Princeton 1948, p. 64 ff.
W. F. Osgood,Lehrbuch der Funktionentheorie II, 1, 2. Auflage (1929), S. 211–221. Über die Vervollständigung der Beweise durchA. B. Brown siehe weiter unten in diesem Abschnitt. Weitere Beweise gabenR. Fueter,Über einen Hartogsschen Satz, « Comm. math. helv. »,12 (1939), 75–80, und:Über einen Hartogsschen Satz in der Theorie der analytischen Funktionen von n komplexen Veränderlichen, « Comm. math. helv. »,14 (1942), 394–400; fernerE. Martinelli,Sopra una dimostrazione di R. Fueter per un teorema di Hartogs, « Comm. math. helv. »,15 (1943), 340–349.
A. B. Brown,On certain analytic continuations and analytic homeomorphismus, « Duke Math. Journ. »,2 (1936), 20–28.
K. Stein,Die Regularitätshüllen niederdimensionaler Mannigfaltigkeiten, « Math. Ann. »,114 (1937), 543–569.
Die Literatur zum Kontinuitätssatz bis 1934 ist angegeben in dem Bericht vonH. Behnke undP. Thullen,Theorie der Funktionen mehrerer komplexer Veränderlichen, Erg. d. Math. u. i. Grenzgebiete (1934) (abgekürzt: B.-Th. Bericht).
H. Kneser,Der Satz von dem Fortbestehen der wesentlichen Singularitäten einer analytischen Funktion zweier Veränderlichen, « Jahresberichte D. M. V. »,41 (1932), 164–168 und:Ein Satz über die Meromorphiebereiche analytischer Funktionen von mehreren Veränderlichen, « Math. Ann. »,106 (1932), 648–665.
Für den Fall regulärer Funktionen siehe:H. Behnke,Der Kontinuitätssatz und die Regulärkonvexität, « Math. Ann. »,113 (1936), 392–397.
Wegen der Voraussetzung der Eindeutigkeit vonf in diesem Falle siehe a. a. O. (10).
SieheH. Cartan undP. Thullen,Regularitäts-und Konvergenzbereiche, « Math. Ann. »,106 (1932), 617–647, B.-Th. Bericht, Kap. 6.
SieheR. Remmert undK. Stein,Über die wesentlichen Singularitäten analytischer Mengen, « Math. Ann. »,126 (1953), 263–306.
Zur Definition der Meromorphiekonvexität sieheBehnke-Thullen, Bericht p. 72. In einer Arbeit der Verf.,Konvergente Folgen von Regularitätsgebieten und die Meromorphiekonvexität, « Math. Ann. »,116 (1938), 204–216 wurde gezeigt, dass die Meromorphiekonvexität mit der Regulärkonvexität äquivalent ist. Dass andererseits jedes Meromorphiegebiet meromorphkonvex ist, folgt fürn=2 aus der Okaschen Lösung des Levischen Problems. Fürn>2 ist in diesem Augenblick die Frage noch nicht endgültig entschieden.
Siehe a. a. O. (7).
H. Behnke undK. Stein,Elementarfunktionen auf Riemannschen Flächen, « Canad. Journal of. Math. »,2 (1950). 152–165.
W. Rothstein,Die invariante Fassung des Kontinuitätssatzes für meromorphe Funktionen, « Arch. d. Math. »,1 (1948), 119–126.
Vgl. hierzu B.-Th. Bericht, insbesondere Kap. 6.
Siehe a. a. O. (5); fernerPeter Thullen, Dominios de Regularidad y Dominios de Meromorfia de Reinhardt, « Revista de la Unión Matemática Argentina »,11 (1945), 33–46, undH. J. Bremermann,Die Charakterisierung von Regularitätsgebieten durch pseudokonvexe Funktionen, « Schriftenreihe des Math. Inst. d. Univ. Münster »,5 (1951), 1–92.
SieheK. Stein a. a. O. (5), insbesondere p. 556 ff.;S. Bochner,A theorem of analytic continuation of functions in several variables, « Annals of Math. »,39 (1938), 14–19;S. Hitotumatu,Note on the envelope of regularity of a tube-domain, « Proc. of the Jap. Acad. »,26 (1950), 21–25. Ferner siehe im allgemeineren ZusammenhangH. J. Bremermann a. a. O. (20) undP. Lelong,La convexité et les fcs. analytiques de pl. v. c., « Journal d. Math. ».31 (1952), 191–219.
SieheH. J. Bremermann a. a. O. (20) undP. Lelong a. a. O. (21).
Siehe B.-Th. Bericht, Kap. 2, § 4.
SieheP. Thullen,Die Regularitätshüllen, « Math. Ann. »,106 (1932), 64–76 undHenri Cartan,Sur une classe remarquable de domaines. « Comptes rendus »,192 (1931), 1077–1079.
Vgl. zweiter Absatz von 1.
SieheF. Sommer,Bereiche ohne geschlossene innere Singularitätenmannigfaltigkeiten, « Math. Ann. »,114 (1937), 441–465.
SieheB. Caccioppoli, « Atti 1. congr. Univ. Mat. Ital. », (1938), 183–186 undH. Benhke,Über die Fortsetzbarkeit analytischer Funktionen mehrerer Veränderlichen und den Zusammenhang der Singularitäten, « Math. Ann. »,117 (1939), 89–97.
SieheK. Stein,Analytische Funktionen mehrerer komplexer Veränderlichen zu vorgegebenen Periodizitätsmoduln und das zweite Cousinsche Problem, « Math. Ann. »,123 (1951), 201–222 sowieH. Cartan, Séminaire 1951–52, Exp. IX.
Zum Beweise wird der Satz vonHartogs-Osgood auf ein geeignetesG umfassendes GebietG' angewandt.
H. Cartan, Séminaire 1951–52. Exp. XVIII–XX.
A. a. O. (5).
A. a. O. (5).
H. Behnke undF. Sommer,Über die Voraussetzungen des Kontinuitätssatzes, « Math. Ann. »,121 (1950), 356–378.
A. a. O. (33), p. 364, Satz 3.
« Acta math. »,47 (1926) 53–115.
Siehe die in (12) zitierte Arbeit vonH. Cartan undP. Thullen.
Vgl. die in (14) zitierte Arbeit sowie die Arbeit der Verf.:Konvergente Folgen nichtschlichter Regularitätsbereiche, « Ann. Mat. pura appl. », Bologna, IV,28 (1949), 317–326. In dieser Arbeit wird die obige Aussage auf fast-endlich-blättrige Gebiete über demR 2n ausgedehnt.
W. Saxer.Über die normalen Scharen meromorpher Funktionen mehrerer Variablen, « Comm. math. helv. »,4 (1932), 256–267 undSur les domaines de normalité d. fes. mérom. d. pl. v. c., « J. Math. pur. appl. », IX,31 (1952). 49–51.
« The Tohôku Math. J. »,49 (1942), 15–52.
W. Rothstein,Die Fortsetzung vier- und höherdimensionaler analytischer Flächen des R 2n (n ≥ 3), « Math. Ann. »,121 (1950), 340–355 undÜber die Fortsetzung analytischer Flächen, « Math. Ann. »,122 (1951), 424–434.
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Behnke, H., Stein, K. Der Severische Satz über analytische Fortsetzung von Funktionen mehrerer Veränderlichen und der Kontinuitätssatz. Annali di Matematica 36, 297–313 (1954). https://doi.org/10.1007/BF02412843
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF02412843