Generalized symmetric Runge-Kutta methods

Abstract

In this paper the concept of symmetry for Runge-Kutta methods is generalized to include composite methods. The extrapolations of the usual compositions of a symmetric method ℛ of the form

are shown not to beA-stable. However, this limitation can be overcome by considering composite methods of the form

where

represents a non-symmetric and possiblyL-stable method called a symmetrizer satisfying

. While no longer symmetric, these composite methods yet satisfy

and thus share with symmetric methods the important property of admitting asymptotic error expansions in even powers of 1/n. Composite methods that are constructed in this way and presented in this paper have implementation costs comparable to that for the symmetric method. They generalize those based on the implicit midpoint and trapezoidal rules used with the standard smoothing formulae and thus extend the class of methods for acceleration techniques of extrapolation and defect correction. A characterization ofL-stable symmetrizers for 2-stage symmetric methods is given and studied for a particular stiff model problem. The analysis suggests that certainL-stable symmetrizers can play an important role in suppressing order defect effects for stiff problems.

Zusammenfassung

In dieser Arbeit verallgemeinern wir den Symmetriebegriff für Runge-Kutta-Verfahren auf zusammengesetzte Verfahren. Die übliche Aneinanderreihung symmetrischer Schritte ℛ zu

keineA-stabilen Extrapolationsstufen ergibt. Diese Einschränkung läßt sich jedoch mit Hilfe zusammengesetzter Verfahren der Form

umgehen, wobei das als “Symmetrizer” bezeichnete nicht-symmetrische und möglicherweiseL-stabile Verfahren

die Bedingung

erfüllt. Obwohl sie nicht im engeren Sinn symmetrisch sind, erfüllen diese zusammengesetzen Verfahren

und haben deshalb wie die symmetrischen Verfahren asymptotische Fehlerentwicklungen in geraden Potenzen von 1/n. Die Implementierung solcher in dieser Arbeit behandelter Verfahren führt zu Kosten, die denen bei symmetrischen Verfahren vergleichbar sind. Diese Verfahren stellen eine Verallgemeinerung der impliziten Mittelpunkt- und Trapezregeln mit Standardglättung dar und erweitern die Methoden, für die Konvergenzbeschleunigung mittels Extrapolation und Defektkorrektur möglich ist. DieL-stabilen Symmetrizer für 2-stufige symmetrische Verfahren werden charakterisiert und an Hand eines speziellen steifen Modellproblems studiert. Die Analyse läßt erwarten, daß gewisseL-stabile Symmetrizer eine wichtige Rolle bei der Unterdrückung von Ordnungsabfalleffekten bei steifen Problemen spielen können.