On the error structure of the implicit Euler scheme applied to stiff systems of differential equations

Abstract

In this paper we investigate the structure of the global discretization error of the implicit Euler scheme applied to systems to stiff differential equations, extending earlier work on this subject (cf. [1], [9]). We restrain our considerations to the linear, self-adjoint, constant coefficient case but—in contrast to [1], [9]—we make no assumptions about the nature of the stiff spectrum; the stiff eigenvalues may be arbitrarily distributed on the negative real axis.

Our main result says that the global error of the implicit Euler scheme admits an asymptotic expansion in powers of the stepsize τ which is not asymptotically correct in the conventional sense: Near the initial pointt=0 the expansion is spoiled at theO(τ²) by ‘irregular’ error components which are, however, (algebraically) damped, such that away fromt=0 the ‘pure’ asymptotic expansion reappears. We present numerical experiments confirming this result.

Our considerations should be particularly helpful for a rigorous, quantitative analysis of the structure of the full (space & time) discretization error in the PDE (method of lines) context, and thus for a sound theoretical justification of extrapolation techniques for this important class of stiff problems.

Zusammenfassung

In dieser Arbeit wird die Struktur des globalen Diskretisierungsfehlers des impliziten Eulerverfahrens bei Anwendung auf steife Differentialgleichungssysteme untersucht; es handelt sich um eine Weiterführung bestehender Arbeiten zu diesem Thema (siehe [1], [9]). Die vorliegenden Betrachtungen beschränken sich auf den linearen, selbstadjungierten Fall mit konstanter steifer Matrix, jedoch werden—im Gegensatz zu [1], [9]—keine Annahmen über die Struktur des steifen Spektrums getroffen; die steifen Eigenwerte können beliebig auf der negativen reellen Achse verteilt sein.

Unser zentrales Resultat lautet: Der globale Fehler des impliziten Eulerverfahren besitzt eine asymptotische Fehlerentwicklung in Potenzen der Schrittweite τ, die allerdings nicht asymptotisch korrekt im konventionellen Sinn ist: Unmittelbar nach dem Anfangspunkt ist die Entwicklung durch das Auftreten ‘irregulärer’ Fehlerterme aufO(τ²) gestört. Diese irregulären Komponenten zeigen jedoch ein (algebraisch) abklingendes Verhalten, so daß nach einem gewissen Zeitintervall eine ‘reine’ asymptotische Entwicklung sichtbar wird. Es werden numerische Resultate präsentiert, die dieses Resultat untermauern.

Die vorliegenden Betrachtungen sollten insbesondere nützlich sein für eine rigorose, quantitative Analyse des vollen Diskretisierungsfehlers (bez. Zeit und Raum) im Zusammenhang mit partiellen Differentialgleichungen (Linienmethode), und damit für eine saubere theoretische Rechtfertigung von Extrapolationstechniken für diese wichtige Klasse von steifen Problemen.