On theA-integral representation of the Hilbert transform and conjugate function

Abstract

Рассматривается воп рос о представлении о ператора Гильберта и сопряжен ной функцииA-интегралом. Доказывается следую щая Теорема. Если ϕ - такая неотрицательная фун кция на [0, ∞), что х⁻¹ϕ(х) монотонно не убывает на (0, ∞) и для н екоторого Н> 0$\mathop \smallint \limits_H^\infty \varphi ^{ - 1} (x)dx< \infty$, а определенная на R функ ция

fεℒ∩ϕ(ℒ), то почти всюду оператор Гильберта

$$\tilde f(x) = - \frac{1}{\pi }(A)\mathop \smallint \limits_0^\infty \frac{{f(x + t) - f(x - t)}}{t}dt$$

.

Из данной теоремы сле дует, что для функций и з ℒ^p, 1<р<#x221E;, оператор Гильберта и сопряженная функция представляютсяA-инте гралом. Что для функций из ℒ¹ п одобное утверждение неверно, показывает следующа я теорема.

Теорема.Существует т акая суммируемая на R ф ункция f≧0, что почти всюду

$$\mathop {\lim sup}\limits_{n \to \infty } \mathop \smallint \limits_0^\infty \left[ {\frac{{f(x + t) - f(x - t)}}{t}} \right]_n dt = \infty$$

.