On the growth order of the rectangular partial sums of multiple non-orthogonal series

Abstract

Пустьd-натуральное ч исло,Z ^d — множество на боров k=(k ₁, ...,k _d ), состоящих из неотрицательных цел ыхk _j ,Z ^d₊ =k∈Z ^d:k≧1. Предположи м, что системаf _k (x):k∈Z ^d₊ ⊂ ⊂L₂(X,A, μ) и последовател ьностьa _k :k∈Z ^d₊ . таковы, чт о для всех b∈Z^d и m∈Z ^d₊ выполн ены неравенства

$$\left\| {\sum\limits_{b + 1 \leqq k \leqq b + m} {a_k f_k (x)} } \right\|_2^2 \leqq w^2 (m)\sum\limits_{b + 1 \leqq k \leqq b + m} {a_k^2 } $$

((2))

где последовательно сть {w(m): m∈Z ^d₊ положительн а и не убывает. Например, есл иf _k (х) — квазистационарная система, то для соотве тствующей последовательности {ω(m) (2) имeeт Меcтo ДЛЯ ЛЮбОЙ ПОС ЛеДОВатеЛЬНОСТИ {a_k}. В работе получены оце нки порядка роста пря моугольных частных суммS _m (x)= =∑ a_kf_k(x) при maxmj→∞ как в случ ае {a_k}∈l₂, таки для {a_k}l₂. Эти оценки явля1≦k≦m 1≦j≦d

ются новыми даже для о ртогональных кратны х рядов. Показано, что упомяну тые оценки в общем слу чае являются точными.