Über die Mittel stochastisch unabhängiger Funktionen

Abstract

Для данного числаK, 1≦K≦∞, обозначимΩ(K) клас с последовательносте йφ={φ _k (x)} стохастически незав исимых на (0,1) функций, дл я которых выполнены условия:

$$\int\limits_0^1 {\varphi _k (x)dx = 0,} \int\limits_0^1 {\varphi _k^2 (x)dx = 1, |\varphi _k (x)|} \leqq K(x \in (0,1);k = 1,2, \ldots ).$$

Пусть, далее,λ={λ _n } —по следовательность со свойствами

$$0< \lambda _1< \ldots< \lambda _n< \ldots ,\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \lambda _n = \infty ,$$

иМ (λ;K) — множество числ овых последовательн остейa={a _k } ^∞_k=1 , для которых по сле-довательности средних

$$\frac{1}{{\lambda _n }}\mathop \sum \limits_{k = 1}^n a_k \varphi _k (x)(n = 1,2, \ldots )$$

сходятся к нулю почтя всюду на (0,1) для всех сис темφ∈Ω(K).

В статье, в частности, п утем применения одно го метода Б. С. Кашина, доказываетс я, что для каждогоK, 1 <-K<∞, в ыполнено равенствоM(λ; K)=М(λ; 1).