On the convergence of double orthogonal series

Abstract

Пусть Ф={ϕ_i(х)} и Ψ={Ψ_i(y)} (i=1,2,...) — ортонормированн ые на конечном или бесконечном интерва ле (а, Ь) системы функци й. На квадрате (а,Ь)Х(а,Ь) расс матривается система {ϕ_i(x)Ψ_k(y))} (i, k=1, 2, ...). Дл я ряда (1.1) изучаются свойства сходимости его частных сумм по прямоугольни кам, по квадратам и по с ферам.

Максимальные нераве нства, полученные в ст атье для двух переменных, явля ются следствием соответствующих нер авенств в случае одно й переменной. Они показ ывают, что рассматрив аемые частные суммы при обы чных предположениях не только сходятся почти всюду, но и мажоранта этих ча стных сумм интегриру ема с квадратом по некотор ому прямоугольнику.

В наших результатах у тверждения (i) о сходимо сти почти всюду рядов (1.3), т.е. «нижн их углов» рядов (1.1), выполн яются при условиях ви да (1.7) для системы Ф и при единст венном условии ортонормиро ванности системы У. Ан алогично, для справедливости у тверждений (ii) о «верхних углах» (1.4) ря да (1.1), требуется выполн ение условий вида (1.8) для сис темы У и лишь ортонормиров анность системы Ф.