Abstract
The Lr regularity, 1<r<∞, of the weak solution of the Stokes problem has been analyzed by L. Cattabriga when the spatial domain Ω is of class C2. In this paper, Cattabriga's results are generalized for W2, ∞ domains. First, we prove a L2 regularity result by using appropriate difference quotients of the weak solution; for these, we obtain uniform estimates as a consequence of standard results concerning mixed problems. In order to obtain Lr regularity, we use the hydrodynamical potentials. We deduce Lr «a posteriori» estimates for the strong solution by arguing as D. Gilbarg and N. S. Trudinger have previously done to analyze the Dirichlet problem for the Laplace and Poisson equations. From these results, it is straightforward to demonstrate existence and uniqueness of the strong solution. Also, by applying the usual «boot-strap» argument, one deduces the Lr regularity of any weak solution to the Navier-Stokes problem.
Resumé
La régularité Lr, 1<r<∞, de la solution faible du problème de Stokes a été étudiée par L. Cattabriga lorsque le domaine Ω est de classe C2. Dans ce travail, les résultats de Cattabriga sont généralisés pour des domaines de classe W2, ∞. D'abord, afin de démontrer un résultat de régularité L2, on considère des quotients différentiels convenables de la solution faible, on analyse des problèmes mixtes dont ces quotients sont les solutions et on en déduit des estimations uniformes. Pour obtenir des résultats de régularité Lr, on utilise les potentiels hydrodynamiques. On obtient des estimations Lr «a posteriori» d'après des arguments analogues aux utilisés par D. Gilbarg et N. S. Trudinger pour le problème de Dirichlet pour les équations de Laplace et Poisson. On en déduit l'existence et l'unicité de solution forte. Aussi, en utilisant la technique «boot-strap», on obtient un résultat de régularité Lr pour toute solution faible du problème de Navier-Stokes.
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References
S. Agmon -A. Douglis -L. Nirenberg,Estimates near the boundary for solutions of elliptic partial differential equations satisfying general boundary conditions, I and II, Comm. Pure and Applied Math.,12 (1959), pp. 623–727;17 (1964), pp. 35–92.
J. A. Bello, Thèse, Université Blaise Pascal (Clermont-Ferrand II) (1993).
J. A. Bello -E. Fernández-Cara -J. Simon,The variation of the drag with respect to the domain in Navier-Stokes flow, inOptimization, Optimal control and Partial Differential Equations,V. Barbu,J. F. Bonans,D. Tiba eds., International Series of Numerical,107, Birkhäuser-Verlag, Basel (1992), pp. 287–296.
H. Brézis,Analyse fonctionnelle. Théorie et applications, Masson, Paris (1983).
L. Cattabriga,Su un problema al contorno relativo al sistema di equazioni di Stokes, Rend. Mat. Sem. Univ. Padova,31 (1961), pp. 308–340.
G. P.Galdi - C. G.Simader - H.Sohr,On the Stokes problem in Lipschitz domains, Ann. Mat. Pura Appl., to appear.
J. M. Ghidaglia,Regularité des solutions de certains problèmes aux limites linéaires liés aux equations d'Euler, Comm. PDE,9 (13) (1984), pp. 1265–1298.
D. Gilbarg -N. S. Trudinger,Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, 2nd edition, Springer-Verlag, Berlin (1983).
V. Girault -P. A. Raviart,Finite Element Methods for Navier-Stokes Equations, Springer-Verlag, Berlin (1986).
O. A. Ladyzhenskaya,The Mathematical Theory of Viscous Incompressible Flow, 2nd edition, Gordon and Breach, New York (1969).
J. L. Lions,Quelques méthodes de résolution des problèmes aux limites non linéaires, Dunod, Gauthier-Villars, Paris (1969).
F.Murat - J.Simon,Sur le contrôle par un domaine géometrique, Rapport du L.A. 189 no. 76015, Univ. Paris VI (1976).
J. Nečas,Les méthodes directes en théorie des equations elliptiques, Masson, Paris (1967).
F. K. G. Odqvist,Die Randwertaufgaben der Hydrodynamik zäher Flüssigkeiten, P. A. Norstedt & Söner, Stockholm (1928). Cf. also: Math. Z.,32 (1930), pp. 329–375.
R. Téman,Navier-Stokes Equations. Theory and Numerical Analysis, North-Holland, Amsterdam (1977).
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This research was partially supported by DGICYT, Spain, Proyecto no. PB92-0696.
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Bello, J.A. L r regularity for the stokes and navier-stokes problems. Annali di Matematica pura ed applicata 170, 187–206 (1996). https://doi.org/10.1007/BF01758988
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF01758988