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Literaturnachweis
Die Integrale sind entweder als eigentliche Lebesguesche oder als absolut konvergente uneigentliche Riemannsche anzusehen.
Bromwich, An introduction to the theory of infinite series. Second edition, London 1926, S. 500.
G. Doetsch, Sätze von Tauberschem Charakter im Gebiet der Laplace- und Stieltjes-Transformation, Sitzungsber. d. preuß. Akad., Phys.-math. Kl. 1930, S. 144–157 [S. 145].
Die AbkürzungU(t)=O L (V(t)) mit positiver FunktionV(t) bedeutet in üblicher WeiseU(t)>−cV(t), woc irgendeine positive Konstante ist.
G. Doetsch, Die Integrodifferentialgleichungen vom Faltungstypus, Math. Annalen89 (1923), S. 192–207 [S. 198].
Hilfssatz 2 ist ein Korollar (siehe loc. cit. 3), G. Doetsch, Sätze von Tauberschem Charakter im Gebiet der Laplace- und Stieltjes-Transformation, Sitzungsber. d. preuß. Akad., Phys.-math. Kl. 1930, S. 148) des später zu benutzenden Hilfssatzes 3, der für den oben benötigten Spezialfall von mir (Ein Konvergenzkriterium für Integrale, Math. Annalen82 (1920), S. 68–82), allgemein von Hardy und Littlewood (Notes on the theory of series (XI): On Tauberian theorems, Proc. of the Lond. math. soc. (2)30 (1929), S. 23–37) bewiesen wurde. Sätze dieser Art (sogenannte TauberscheO L -Theoreme) konnte man früher nur mit den von Hardy und Littlewood geschaffenen, sehr komplizierten Methoden beweisen. Vor kurzem hat nun J. Karamata eine äußerst einfache Beweismethode entdeckt und zunächst für Potenzreihen in einem Spezialfall dargestellt (Über die Hardy-Littlewoodschen Umkehrungen des Abelschen Stetigkeitssatzes, Math. Zeitschr.32 (1930), S. 319, 320). Eine Arbeit von Karamata, die auch die obigen allgemeineren Sätze über die Laplace-Transformation erfaßt, erscheint demnächst im Journal f. d. reine u. angew. Math.
G. H. Hardy, Researches in the theory of divergent series and divergent integrals, The Quarterly Journal of pure and appl. math.35 (1904), S. 22–66 [S. 34].
G. H. Hardy, The application to Dirichlet's series of Borel's exponential method of summation, Proc. of the Lond. math. soc. (2)8 (1910), S. 277–294;
G. H. Hardy, The application of Abel's method of summation to Dirichlet's series. The Quarterly Journal of pure and appl. math.47 (1916), S. 176–192.
loc. cit. 8) a)..
H. Bohr, Bidrag til de Dirichlet'ske Rækkers Theori, Dissertation Kopenhagen 1910, S. 78.
E. Lindelöf, Le calcul des résidus (Collection Borel). Paris 1905, S. 139.
Siehe Hardy, loc. cit. 8) a)..
G. Doetsch, Eine neue Verallgemeinerung der Borelschen Summabilitätstheorie der divergenten Reihen. Dissertation Göttingen 1920.
Wie loc. cit. 13) G. Doetsch, Eine neue Verallgemeinerung der Borelschen Summabilitätstheorie der divergenten Reihen. Dissertation Göttingen 1920. gezeigt wird, ist damit gleichbedeutend, daß diek-ten Cesàroschen Mittel einen Borelschen Grenzwert haben.
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Vgl. Anm. 5)(Ein Konvergenzkriterium für Integrale, Math. Annalen82 (1920), S. 68–82).
loc. cit. 13) G. Doetsch, Eine neue Verallgemeinerung der Borelschen Summabilitätstheorie der divergenten Reihen. Dissertation Göttingen 1920.
A. Zygmund, Über einige Sätze aus der Theorie der divergenten Reihen, Bull. de l'Acad polon. des sc. et des lettres, classe des sc. math. et nat. sér. A., 1927, S. 309–331 [S. 320 f.].
Vgl. loc. cit. 3) G. Doetsch, Sätze von Tauberschem Charakter im Gebiet der Laplace- und Stieltjes-Transformation, Sitzungsber. d. preuß. Akad., Phys.-math. Kl. 1930, S. 144, Anm. 2.
S. Pincherle, Sur les fonctions déterminantes, Ann. scientif. de l'Éc. Norm. sup. (3)22 (1905), S. 9–68 [S. 20, 21].
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Doetsch, G. Über den Zusammenhang zwischen Abelscher und Borelscher Summabilität. Math. Ann. 104, 403–414 (1931). https://doi.org/10.1007/BF01457948
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