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Über den Zusammenhang zwischen der Eindeutigkeit und Lösbarkeit partieller Differentialgleichungen zweiter Ordnung vom elliptischen Typus

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  1. Invarianz des Gebietes in Funktionalräumen, Studia Math.1 (1929), S. 123–139, insb. Satz A (Beweis S. 126–135).

  2. Loc. cit. 1) Invarianz des Gebietes in Funktionalräumen, Studia Math.1 (1929), Satz B, Beweis S. 135–139.

  3. Von gewissen Verallgemeinerungen abgesehen, wurde der Hauptinhalt dieser Arbeit in den Sitzungen vom 15. 3. 1930 und 15. 11. 1930 der poln. math Gesellschaft (Abteilung Lwów) vorgetragen.

  4. Es handelt sich um die Hilfssätze 5 und 6 der vorliegenden Arbeit (identisch mit den Hilfssätzen 1 und 2 der in der Fußnote 1 zitierten Arbeit).

  5. Vgl. S. Banach, Sur les opérations dans les ensembles abstraits, Fund. Math.3 (1922), insb. S. 134–136.

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  6. Der Begriff der schwachen Konvergenz ist im allgemeinen umfassender als der der starken Konvergenz.

  7. Anmerkung bei der Korrektur. Dies bedeutet, daßf mit allen partiellen Ableitungenm-ter Ordnung versehen ist, welche ihrerseits zuE α gehören.

  8. Oder noch besser direkt. In dieser Arbeit brauchen wir aber nur den Satz fürE α undE α,1, und beide Fälle werden an dieser Stelle bewiesen.

  9. Innere Punkte + Rand.

  10. Wenn ich im folgenden manchmal diese zwei Begriffe unterschiedslos gebrauchen werde, so tue ich es, weil sie—in unserem Falle—zahlenmäßig dieselbe ganze Zahl ergeben. Vgl., was diese Begriffe anbetrifft, die topologischen Arbeiten des Herrn Brouwer.

  11. Eine fast wörtliche Wiederholung des Hilfssatzes I der unter 1) Invarianz des Gebietes in Funktionalräumen, Studia Math.1 (1929), S. 123–139, zitierten Arbeit.

  12. Vgl. L. E. J. Brouwer, Über Jordansche Mannigfaltigkeiten, Math. Annalen71, S. 320–327, insbesondere S. 326–327.

  13. D. h. beide Abbildungen ϕ, ψ sollen simplizial sein.

  14. Den Fall eines beliebigen durch eine Jordansche Mannigfaltigkeit berandeten Gebietes erledigt man leicht durch Approximation.

  15. Fast wörtliche Wiederholung des Hilfssatzes II der unter 1) Invarianz des Gebietes in Funktionalräumen, Studia Math.1 (1929), S. 123–139, zitierten Arbeit. Manche lästige Druckfehler werden dabei richtiggestellt.

  16. k=0 bedeutet, daß die beiden Bildsimplexe identisch sind.

  17. D. h. jedes Bildsimplex hat einen Durchmesser ≦δ.

  18. Vgl. L. E. J. Brouwer, Invarianz der Dimensionszahl, Math. Annalen70 (1911), S. 161–165. Man kann ψ ϕ(O)=0 wählen.

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  19. Vgl. loc. cit. 17). D. h. jedes Bildsimplex hat einen Durchmesser ≦δ.

  20. Wir führen den Beweis dieser Tatsache nur für Eckpunkte der Einteilung vong durch.

  21. E′ kann auch mitE übereinstimmen.

  22. Vgl. loc. cit. 1) Invarianz des Gebietes in Funktionalräumen, Studia Math.1 (1929), S. 123–139, insb. S. 134–135.

  23. Oder mit Benutzung des Hilfssatzes 8.

  24. Siehe z. B. die unter 5) S. Banach, Sur les opérations dans les ensembles abstraits, Fund. Math.3 (1922) zitierte Arbeit, insb. Théorème 6, S. 160–161.

  25. Genauer: Auf den Raum derselbenn-Tupel.

  26. L. Lichtenstein, Randwertaufgaben der Theorie der linearen partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung vom elliptischen Typus. I. Die erste Randwertaufgabe. Allgemeine ebene Gebiete. Journal für die reine und angewandte Mathematik142 (1913), S. 1–40, insb. S. 35–40. Mein eigener, teilweise auf Methoden der Theorie der Funktionaloperationen gestützter Beweis erscheint vielleicht im Bull. Ac. Cracovie.

  27. E. Hopf, Über den funktionalen, insbesondere den analytischen Charakter der Lösungen elliptischer Differentialgleichungen zweiter Ordnung, Math. Zeitschr.34 (1931), insb. Satz 3. Vgl. auch Enz. d. math. Wiss. II C 12: L. Lichtenstein, Neuere Entwicklung der Theorie partieller Differentialgleichungen zweiter Ordnung vom elliptischen Typus, S. 1277–1334, insb. S. 1323, und auch L. Lichtenstein, Bull. Ac. Sc. Cracovie 1913, S. 915–941.

  28. Hilfssatz 11 läßt sich auch für Gebiete beweisen, die von Systemen von Kurven der sogenanntenCh-Klasse berandet sind. Zur Definition dieser Klassen siehe z. B. Enz. d. math. Wiss. II C 3: L. Lichtenstein, Neuere Entwicklung der Potentialtheorie, konforme Abbildung, S. 177–377, insb. S. 183–187.

  29. Man könnte auch — zum Beweise dieses Hilfssatzes — den Hilfssatz 1 benutzen.

  30. Oder sich elliptisch verhaltend.

  31. Dieser Satz scheint mir neu. Die in der Literatur vorkommenden Sätze beziehen sich auf die DifferentialgleichungF=0 (die manchmal mit einem Parameter ν behaftet erscheint), wobei vorausgesetzt wird, daß die sogenannte “Jacobische” lineare Differentialgleichung keine “Nullösung” besitzt (zur Literatur vgl. z. B. L. Lichtenstein, Vorlesungen über einige Klassen nichtlinearer Integralgleichungen und Integro-Differentialgleichungen, insbesondere S. 88–98, Berlin: Verlag Julius Springer, 1931). Ich bemerke noch, daß Satz IV eigentlich von topologiscber Natur ist und sich wahrscheinlich mit den in reiner Analysis benutzten Methoden, z. B. mittels der sukzessiven Approximationen nicht beweisen läßt. Er umfaßt die oben erwähnten ālteren Ergebnisse, nicht aber den Fall der sogenannten Verzweigungen.

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  32. Vgl. Kap. IV, Formel (4).

  33. Es kommt der Hilfssatz 2 zur Anwendung.

  34. M. Gevrey, Détermination et emploi des fonctions de Green dans les problèmes aux limites relatifs aux équations linéaires du type elliptique, Journal de Mathématiques pures et appliquées (Liouville), 1930, p. 1–80.

  35. Anmerkung bei der Korrektur. Herr Giraud teilt mir in einem Briefe vom 22. IV. 1932 folgendes mit: Die Ungleichheiten (6) gelten (und dies sogar im Falle mehrerer unabhängiger Variabler) auch dann, wenn die KoeffizientenA, B, C lediglich α-Hölder-stetig sind. Nach den Ausführungen der vorliegenden Arbeit lassen sich also die Voraussetzungen des Satzes IV automatisch abschwächen, insbesondere darf also die Anfangslösungz 0(x, y) als nur zweimal Hölder-stetig differenzierbar angenommen werden.

  36. Diese Schreibweise bedeutet, daß inA(x, y, z, p, q) usw. die betreffende Funktion und ihre Ableitungen eingesetzt werden.

  37. Die Bedeutung dieser Schreibweise ist der in der Fußnote 44) Diese Schreibweise bedeutet, daß inA(x, y, z, p, q) usw. die betreffende Funktion und ihre Ableitungen eingesetzt werden erläuterten ähnlich.

  38. Anmerkung bei der Korrektur. ϕ ist im “Produktraume” [E 1, “λy 02 ”] definiert.

  39. G: ∥x 1∥+∥x 2∥≦1.

  40. Vgl. loc. cit. 1) Dies ist die Poissonsche Summationsformel in einfachster Fassung. Allgemeinere Fassungen entstehen, wenn man die Summation über gewisse allgemeinere Zahlengitter erstreckt. Sie sind gleichfalls von Bedeutung, vgl. etwa Ch. H. Müntz, Math. Annalen90 (1923), S. 279–291. — Da man die allgemeineren Fassungen nach Formulierung und Gültigkeit sehr leicht auf die einfachste zurückführen kann, unterlassen wir es, auf sie einzugehen der Beweis des Satzes B.

  41. Das Feld der quadratisch integrierbaren Funktionen.

  42. Zur Definition der schwachen Konvergenz inL α (α>1) vgl. z. B. F. Riesz, Untersuchungen über Systeme integrierbarer Funktionen, Math. Annalen69 (1910).

  43. H. Petrini, Journ. de Math.5 (1909), S. 127–223, insb. S. 137.

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  44. Z. B. Funktionen {zs 1}, die zweimal stetig differenzierbar und sonst beliebig sind.

  45. Wir nehmen vorubergehend an, daßK ein Einheitskreis ist, was sich durch eine lineare Transformation immer bewerkstelligen läßt.

  46. Ältere Literatur in dem Enzyklopädieartikel des Herrn Lichtenstein über partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung vom elliptischen Typus.

  47. Loc. cit. 2). Invarianz des Gebietes in Funktionalräumen, Studia Math.1 (1929), S. 123–139, insb.

  48. Der Satz gilt auch für Bereiche, die durch Kurvensysteme der sogenanntenAh-Klasse berandet sind. Die Randwerte können zur KlasseAh gehören oder einer Dinischen Bedingung genüngende Ableitungen erster Ordnung besitzen.

  49. Vgl. S. Bernstein, Sur la généralisation du problème de Dirichlet, Math. Annalen69 (1910), S. 82–136, insb. S. 95.

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  50. Zur Literatur vgl. loc. cit. 53)c)Ältere Literatur in dem Enzyklopädieartikel des Herrn Lichtenstein über partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung vom elliptischen Typus.

  51. Mein Beweis läßt sich nur dann durchführen, wennf inz wesentlich monoton wachsend ist. Ob der Satz auch dann gilt, wenn ausz 1>z 2 nurdie Folgerungf (x, y, z 1,p, q).≧f (x, y, z 2,p, q) gezogen werden kann, bleibt dahingestellt.

  52. Vgl. loc. cit. 2). Invarianz des Gebietes in Funktionalräumen, Studia Math.1 (1929), S. 123–139, insb.

  53. Die Behandlung nicht in der Normalform gegebener elliptischer Differentialgleichungen im Großen werde, ich in einer anderen Arbeit, welche voraussichtlich in der Math. Zeitschrift erscheint, durchführen.

  54. Vgl. z. B. G. Giraud, Sur différentes questions relatives aux équations de type elliptique, Ann. de l'Éc. norm. sup., 1930, p. 197–266, insb. p. 209.

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  1. Lwów (Lemberg)

    J. Schauder

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  1. J. Schauder
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Schauder, J. Über den Zusammenhang zwischen der Eindeutigkeit und Lösbarkeit partieller Differentialgleichungen zweiter Ordnung vom elliptischen Typus. Math. Ann. 106, 661–721 (1932). https://doi.org/10.1007/BF01455908

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