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References
Cours d'Analyse algébr. (1821) p. 562 ff.
Journal für Mathematik Bd. 51 (1856), p. 18 ff.
Annali di Matematica, Ser. II, T. II (1870), p. 35. Vgl. auch: Stolz, Vorlesungen über allg. Arithmetik, Bd. II, p. 238.
Man vergleiche hierüber — ausser dem oben citirten Aufsatec des Herrn Dini — noch: Stolz, a. a. O. p. 245 ff., sowie den Excurs über unendliche Producte in meiner Abhandlung: “Ueber die Werthveränderungen bedingt convergenter Beihen etc.”, Math. Ann. Bd. XXII, p. 478 ff.
Ich führe diesen Ausdruck ein, da eineallgemein acceptirte Bezeichnung für den fraglichen Begriff nicht existirt, und die allenfalls dafür gebrauchten Ausdrücke, wieRichtungscoefficient, Richtungsfactor (bei Hankel, Stolz u. a. nach dem Vorgange Argand's) wegen ihres rein geometrischen Ursprunges mir nicht recht zusagten, während die Cauchy'sche Bezeichnung “expression réduite” (Anal. algébr. p. 183) mir zu umständlich und dabei wenig charakteristisch erschien.
Diese Definition der Convergenz eines unendlichen Productes ist freilich noch nicht allgemein acceptirt: den streitigen Punkt bildet das Auftreten des GrenzwerthesP ∞=0, welches von manchen Mathematikern als ein Fall vonConvergenz angesehen wird, z. B. von Herrn Stolz (a. a. O. Bd. II, p. 231) und Cam. Jordan (Cours d'Analyse, T. I, No. 133). Herr Thomae — in seiner “Elementaren Theorie der analytischen Functionen” — schlägt eine Art Mittelweg ein: “Nähert sich mit wachsendemn P n immer mehr der Null, so ist damit dieConvergenz des Productes ausgesprochen” — heisst es zunächst a. a. O. p. 23. Dann wird aber hinzugefügt: “Allein solche Producte, welche gegen Null convergiren, ohne dass ein Factor Null ist, verhalten sich anders als solche Producte, die gegen eine bestimmte von Null verschiedene Zahl convergiren, und es soll daher derBequemlichkeit halber angenommen werden, dass ein Product nur dann convergirt, wenn es gegen einenvon Null verschiedenen endlichen Werth convergirt.” Andere Schriftsteller (wie Herr Weierstrass und Dini a. a. O.) sprechen wohl ausdrücklich von Producten, die unter gewissen Bedingungen endliche und von Null verschiedene Werthe besitzen, ohne indessen den Begnff einesconvergenten Productes überhaupt zu definiren; während noch andere (vgl. Lipachitz, Grundlagen der Analysis, Bd. I, p. 503; Mittag-Leffler in den Act. Math. T. IV, p. 29) die im Texte alsnothwendige und hinreichende Bedingung für die Convergenz aufgestellteUngleichung (3) geradezu alsDefinition zu Grunde legen. (NB. Die von Herrn Lipschitz a. a. O. noch hinzugefügte Bedingung: es müssten ausserdem dieP n für jedes noch so grossen unter einer festen endlichen Grenze hegen, ist in Wahrheitüberflüssig — ein “bis in idem” — wie die im Texte an die Ungl. (3) geknüpfte Discussion lehrt). Diese letztere Definition ist offenbar von der hier gegebenen nur der äusseren Form nach verschieden, und ich möchte dieser lediglich aus dem Grunde den Vorzug geben, weil es mir natürlicher erscheint, einen neu einzuführenden Begriff, wenn irgend thunlich, durch charakteristische, unmittelbar fassliche Eigenschaften zu definiren und dann erst deren Einkleidung in analytische Zeichen vorzunehmen, als umgekehrt. Was nun aber ferner die Ausschliessung der unendlichen Producte mit dem Grenzwerthe Null aus der Zahl der alsconvergent zu bezeichnenden betrifft, so will es mir scheinen, dass es sich hierbei nicht bloss — wie Herr Thomae sich ansdrückt — um eine Sache der grösserenBequenlichkeit, sondern schlechterdings um eine directelogische Nothwendigkeit handelt. Man hat dabei nur festzuhalten, dass es hier nicht sowohl darauf ankommt, die Convergenz irgend einer GrössenfolgeP 1,P 2, ...P n ... im Allgemeinen zu definiren, dass vielmehr die Frage lautet: Was soll man unter einemconvergenten unendlichen Producte verstehen? d. b. der Nachdruck ist darauf zu legen, dass dieP n durch eine un begrenzt fortsetzbare Reihe von Multiplicationen entstehen. Wenn man nun überhaupt das Resultat einer unbegrenzten Reihe von Rechnungsoperationen alsconvergent einführt, so geschieht das stets auf Grund des Principes, dass diedefinirende Haupteigenschaft, welche das Resultat einer begrenzten Anzahl jener Operationen charakterisirt, erhalten bleibt. So erscheint z. B. die SummeS n einer endlichen Anzahl (n) von Summanden stets als eine eindeutig bestimmte endliche Zahl,einschliesslich der Null: demgemäss wird die Summe einerunendlichen Reihe von Summandenconvergent genannt, wenn limS n fürn=∞ einen bestimmten endlichen Grenzwerth hat, der auch Null sein darf. Dagegen ist es dieerste und wesentlichste Eigenschaft des Productes einer endlichen Anzahl von Factoren, von denen keiner verschwindet, einen bestimmten endlichen, unter allen Umständenvon Null verschiedenen Werth zu haben: diese Eigenschaft ist in dem Grade mit dem Begriffe eines solchen Productes verknüpft, dass man darauf geradezu den Charakter unseres complexen Zahlensystems als eines in sich abgeschlossenen, nicht mehr erweiterungsfähigen begründen kann (vgl. z. B. Hankel, Vorl. über compl. Zahlen, § 29; Stolz, a. a. O. Bd. II, § 10; Weierstrass, “Zur Theorie der ausn Haupteinheiten gebildeten compl. Zahlen”—Gött. Nachr. 1884, p. 410). Hiernach erscheint es mir aber geradezu als einecontradictio in adjecto, von einem nachNull convergirenden Producte zu sprechen; und wenn solche Producte mit dem Grenzwerthe Null sich, wie Herr Thomae ausdrücklich hervorhebt, ganzanders verhalten wie die gegen einen festen endlichen, von Null verschiedenen Werth convergirenden Producte, so möchte ich daraus folgern, dass es nicht nurunbequem, sondern geradezuunlogisch ist, dieselben als convergent zu bezeichnen. (Man vergleiche hierzu auch noch die Randbemerkung des § 5).
Cours d'Anal. algébr. p. 563.
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Pringsheim, A. Ueber die Convergenz unendlicher Producte. Math. Ann. 33, 119–154 (1888). https://doi.org/10.1007/BF01444113
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF01444113