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The integral from Riemann to Bourbaki

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Sets and integration An outline of the development

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Abstract

Although I have the intention to write about the development of the integral in the period from Riemann into modern times, it would not be justified to pass over the two thousand years before Riemann in which several famous mathematicians studied this notion. By omitting entirely this long period, there would be no opportunity to mention the names of Euclides, Eudoxos, Archimedes, and, centuries later, Leibniz, Newton; without pretending that this list should be complete. This is all the more unjustified as there are several lines, leading from Antiquity to modern times. Therefore, a short introduction is necessary; I shall mention some ideas which return in our modern theories. In this introduction completeness is not aimed at.

“…l’interêt mathématique de ces études (historiques) est de permettre de reconnaître l’étroite parenté qui unit des recherches effectuées à plus de vingt siècles de distances.”

Henri Lebesgue [38] p. 11.

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Bibliography

  1. Baillaud, B. and H. Bourget. Correspondance d’Hermite et de Stieltjes I, II. Paris (1905).

    Google Scholar 

  2. Baire, R. Sur les fonctions de variables réelles. Annali di Mathematica Série IIIa, t. III (1899).

    Google Scholar 

  3. Baire, R. Leçons sur les fonctions discontinues. Paris (1905).

    Google Scholar 

  4. Banach, S. Sur le problème de la mesure. Fundamenta Math. 4 (1923) pp. 7–33.

    MATH  Google Scholar 

  5. Banach, S. Théorie des opérations linéaires. Warszawa (1932).

    Google Scholar 

  6. Banach, S. and C. Kuratowski. Sur une généralisation du problème de la mesure. Fundamenta Math. 14 (1929) pp. 127–131.

    MATH  Google Scholar 

  7. Bochner, S. Integration von Funktionen, deren Werte die Elemente eines Vectorraumes sind. Fundamenta Mat. 20 (1933) pp. 262–276.

    Google Scholar 

  8. Bockstaele, P. Het intuüionisme bij de Franse wiskundigen. Verhandelingen van de Kon. Vlaamse Académie voor Wetenschappen, Letteren en Schone Kunsten van België. Brussel (1949)

    Google Scholar 

  9. Borel, E. Leçons sur la théorie des functions. Paris (1898).

    Google Scholar 

  10. Borel, E. Leçons sur les fonctions entières. Paris (1900).

    Google Scholar 

  11. Borel, E. Leçons sur les séries divergentes. Paris (1901).

    Google Scholar 

  12. Borel, E. Leçons sur les fonctions de variables réelles et les développements en série de polynomes. Paris (1905).

    Google Scholar 

  13. Borel, E. Le calcul des intégrales définies. Journal de Math. Pures et Appl. Sixième série, t. 8 (1912) pp. 159–210.

    Google Scholar 

  14. Borel, E. Sur l’intégration des fonctions non bornées et sur les définitions constructives. Ann. Ecole Norm. Sup. (3), 36 (1919) pp. 71–92.

    MathSciNet  Google Scholar 

  15. Borel, E. Méthodes et problèmes de théorie des fonctions. Paris (1922).

    Google Scholar 

  16. Bouligand, G. Les définitions modernes de la dimension. Paris (1935).

    Google Scholar 

  17. Bourbaki, N. Topologie générale Ch. IX (1948) p. 25.

    Google Scholar 

  18. Bourbaki, N. Intégration chap. 1, 2, 3, 4; Intégration des mesures, chap. 5; Intégration vectorielle, chap. 6; Mesure de Haar, chap 7; Convolution et représentations, chap. 8; Intégration sur les espaces topologiques séparés, chap. 9; Hermann, Paris.

    Google Scholar 

  19. Boutroux, P. Sur la notion de correspondance. Revue de Métaphysique et de Morale 12 (1904) pp. 909–920.

    Google Scholar 

  20. Boutroux, P. L’idéal scientifique des mathématiciens dans l’Antiquité et dans les temps modernes. Paris (1920).

    Google Scholar 

  21. Boyer, C. B. Cavalieri, limits and discarded infinitesimals. Scripta Math. 8 (1941) pp. 79–91.

    MathSciNet  Google Scholar 

  22. Boyer, C. B. Proportion, equation, function: three steps in the development of a concept. Scripta Math. 12 (1946) pp. 5–13.

    MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  23. Burkill, J. C. The Cesaro-Perron integral. Proc. London Math. Soc. (2), 34 (1932) pp. 314–322.

    Article  MathSciNet  Google Scholar 

  24. Burkill, J. C. Henri Lebesgue. J. London Math. Soc. 19 (1944) pp. 56–64.

    MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  25. Cantor, G. De la puissance des ensembles parfaits de points. Acta Math. 4 (1884) pp. 381–392.

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  26. Carathéodory, C. Vorlesungen über reelle Funktionen. Leipzig-Berlin (1918).

    Google Scholar 

  27. Carathéodory, C. Mass und Integral und ihre Algebraisierung. Basel (1956).

    Google Scholar 

  28. Cauchy, A.-L. Mémoire sur les fonctions continues. C. R. Acad. Sc. Paris XVIII (1844) p. 116.

    Google Scholar 

  29. Cauchy, A.-L. Œuvres complètes, le série, t. VIII.

    Google Scholar 

  30. Cesari, L. Surface area. Annals of Mathematics Studies 35, Princeton (1956).

    Google Scholar 

  31. Collingwood, E. F. Emile Borel. Journal London Math. Soc. 34 (1959) pp. 488–512.

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  32. Daniell, P. J. A general form of integral. Ann. of Math. (2) t. XIX (1918) pp. 279–294.

    Article  MathSciNet  Google Scholar 

  33. Darboux, G. Mémoire sur les fonctions discontinues. Ann. Ecole Norm. Sup. (2) IV (1875) pp. 57–112.

    MathSciNet  Google Scholar 

  34. David, L. v. Die beiden Bolyai. Beiheft no. 11 zur Zeitschrift “Elemente der Mathematik”. Basel (1951).

    Google Scholar 

  35. Dehn, M. Über den Rauminhalt. Math. Ann. 55 (1901) pp. 465–478.

    Article  MathSciNet  Google Scholar 

  36. Denjoy, A. Mémoire sur les nombres dérivés des fonctions continues. Journ. de Math. Pures et Appl. (7) 1 (1915) pp. 105–240.

    Google Scholar 

  37. Denjoy, A. Sur les fonctions dérivées sommables. Bull. Soc. Math. France 43 (1915) pp. 161–248.

    MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  38. Denjoy, A. Mémoire sur la totalisation des nombres dérivés non-sommables. Ann. Ecole Norm. Sup. 33 (1916) pp. 127–222.

    MathSciNet  Google Scholar 

  39. Denjoy, A. Jubilé scientifique (1955).

    Google Scholar 

  40. Denjoy, A., L. Félix and P. Montel. Henri Lebesgue le savant, le professeur, l’homme, L’Enseignement Mathématique série II t. III (1957) pp. 1–18.

    Google Scholar 

  41. Dijksterhuis, E. J. De dementen van Euclides I, II. Groningen (1929).

    Google Scholar 

  42. Dijksterhuis, E. J. Archimedes. Kopenhagen (1956).

    Google Scholar 

  43. Enriques, F. Fragen der Elementargeometrie I. Leipzig, Berlin (1911).

    Google Scholar 

  44. Federer, A. Geometric measure theory. Berlin (1969).

    Google Scholar 

  45. Fleckenstein, J. G. Der Prioritätsstreit zwischen Leibniz und Newton. Beiheft no. 12 zur Zeitschrift “Elemente der Mathematik” Basel (1956).

    Google Scholar 

  46. Fréchet, M. Sur quelques points du calcul fonctionnel. Rend. Palermo, t. XXII (1906) pp. 1–74.

    Article  Google Scholar 

  47. Fréchet, M. Sur l’intégrale d’une fonctionnelle étendue à un ensemble abstrait. Bull. Soc. Math. France 43 (1915) pp. 248–265.

    MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  48. Fréchet, M. Les espaces abstraits et leur théorie considérée comme introduction à l’analyse générale (collection Borel). Paris (1928).

    Google Scholar 

  49. Fréchet, M. Pages choisies d’analyse générale, Paris (1953).

    Google Scholar 

  50. Fréchet, M. La vie et l’œuvre d’Emile Borel. Monographies de l’Enseignement Mathématique no. 14. Genève (1965).

    Google Scholar 

  51. Freudenthal, H. Teilweise geordnete Moduln. Proc. Kon. Ned. Akad. v. Wetensch. 39 (1936) pp. 641–651.

    Google Scholar 

  52. Freudenthal, H. Zur Abstraktion des Integralbegriffs. Proc. Kon. Ned. Akad. v. Wetensch. 39 (1936) pp. 741–745.

    Google Scholar 

  53. Gauss, C. F. Werke B8.

    Google Scholar 

  54. Goodrich, R. K. A Riesz representation theorem. Proc. Am. Math. Soc. 24 (1970) pp. 629–636.

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  55. Haar, A. Der Massbegriff in der Theorie der Kontinuierlichen Gruppen. Ann. of Math. (2) t. XXXIV (1933) pp. 147–169.

    Article  MathSciNet  Google Scholar 

  56. Hadamard, J. Sur les opérations fonctionnelles. C. R. Acad. Sc. Paris (1903).

    Google Scholar 

  57. Hadwiger, H. Ergänzungsgleichheit k-dimensionaler Polyeder. Math. Z. 55 (1952) pp. 292–298.

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  58. Hadwiger, H. Vorlesungen über Inhalt, Oberfläche und Isoperimetrie. Springer-Verlag (1957).

    Google Scholar 

  59. Hausdorff, F. Grundzüge der Mengenlehre. Leipzig (1914).

    Google Scholar 

  60. Hausdorff, F. Mengenlehre, third edition Dover publ.

    Google Scholar 

  61. Hilbert, D. Grundlagen der Geometrie.

    Google Scholar 

  62. Hilbert, D. Gesammelte Abhandlungen. Bd. III.

    Google Scholar 

  63. Hille, E. and R. S. Phillips. Functional analysis and semi-groups. A.M.S. New York (1957).

    Google Scholar 

  64. Jessen, B. The algebra of polyhedra and the Dehn-Sydler Theorem. Math. Scand. 22, (1968) pp. 241–256.

    MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  65. Jordan, C. Cours d’analyse de l’école polytechnique. 2ème édition Paris (1893).

    Google Scholar 

  66. Kamke, E. Das Lebesguesche Integral Berlin-Leipzig (1925).

    Google Scholar 

  67. Kamke, E. Das Lebesgue-Stieltjes Integral. Leipzig (1956).

    Google Scholar 

  68. Kempisty, S. Fonctions d’intervalle non additives. Paris (1939).

    Google Scholar 

  69. Kronecker, L. G. Lejeune Dirichlets Werke Bd. I (1889) p. 133.

    Google Scholar 

  70. Kubota, Y. On a characterization of the C.P.-integral. Journ. London Math. Soc. 43, (1968) pp. 607–611.

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  71. Lagrange, J. L. Théorie des fonctions analytiques. Paris (1797).

    Google Scholar 

  72. Lebesgue, H. Intégrale, Longueur, Aire. Annali di Mathematica, Serie III, t. VII (1902) pp. 231–359.

    Article  Google Scholar 

  73. Lebesgue, H. Leçons sur l’intégration et la recherche des fonctions primitives. Paris (1903) 2nd ed. (1928).

    Google Scholar 

  74. Lebesgue, H. Sur les fonctions représentables analytiquement. Journ. de Math. Pures et Appl. (6) 1 (1905) pp. 139–216.

    Google Scholar 

  75. Lebesgue, H. Remarques sur les théories de la mesure et de l’intégration. Ann. Ecole Normale Sup. (3) 35 (1918) pp. 191–250.

    MathSciNet  Google Scholar 

  76. Lebesgue, H. Sur l’équivalence des polyèdres réguliers. C. R. Acad. Sc. Paris 907 (1938) pp. 437–439.

    Google Scholar 

  77. Lebesgue, H. Une fonction continue sans dérivée. l’Enseignement Math. t. 38 (1942) pp. 212–213.

    MathSciNet  Google Scholar 

  78. Lebesgue, H. Notices d’histoire des mathématiques. Monographies de l’Enseignement Mathématique no. 4. Genève (1958).

    Google Scholar 

  79. Lévy, P. Leçons d’analyse fonctionnelle. Paris (1922).

    Google Scholar 

  80. Lévy, P., S. Mandelbrojt, B. Malgrange and P. Malliavin. La vie et l’œuvre de Jaques Hadamard. Monographie no. 16 de l’Enseignement Mathématique. Genève (1967).

    Google Scholar 

  81. Looman, H. Sur la totalisation des dérivées des fonctions continues de plusieurs variables indépendantes. Fundamenta Math. 4 (1923) pp. 246–285.

    MATH  Google Scholar 

  82. Lusin, N. Sur une question concernant la propriété de Baire. Fundamenta Math. IX (1927) pp. 116–118.

    Google Scholar 

  83. Luxemburg, W. A. J. Non standard analysis. California Inst, of Techn., Pasadena, California (1962).

    Google Scholar 

  84. McShane, E. J. Order-preserving maps and integration processes. Princeton (1953).

    Google Scholar 

  85. Monna, A. F. Sur le problème de la mesure. Proc. Kon. Ned. Akad. v. Wetensch. 49 (1946) pp. 63–64.

    MathSciNet  Google Scholar 

  86. Monna, A. F. Problème des moments et fonctions quasi-analytiques. Nieuw Archief voor Wiskunde 3e serie XVII (1969) pp. 189–199.

    Google Scholar 

  87. Monna, A. F. and T. A. Springer. Intégration non-archimédienne I, II. Proc. Kon. Ned. Akad. v. Wetensch. A66 (1963) pp. 634–642, pp. 643–653.

    MathSciNet  Google Scholar 

  88. Montel, P. and A. Rosenthal. Integration und Differentiation. Enzyklopädie der Math. Wiss. 2, 3, II (1923) p. 1044.

    Google Scholar 

  89. Moore, E. H. On the theory of systems of integral equations of the second kind. Bull. Am. Math. Soc. 12, 280 (1906) pp. 283–284.

    Google Scholar 

  90. Moore, E. H. General Analysis I, II. Philadelphia (1935).

    Google Scholar 

  91. Nagata, J. I. Modern dimension theory. Groningen (1965).

    Google Scholar 

  92. Neumann, J. von. Zum Haarschen Mass in topologischen Gruppen. Comp. Math. I (1934) pp. 106–114.

    Google Scholar 

  93. Paplauskas, A. B. L’influence de la théorie des séries trigonométriques sur le développement du calcul intégral. Archives intern, d’histoire des Sciences 21, no. 84–85 (1968) pp. 249–260.

    MATH  Google Scholar 

  94. Peano, G. Applicazioni geometriche del calculo infinitesimale. Turin (1887).

    Google Scholar 

  95. Perron, O. Über den Integralbegriff. S. B. Heidelberg Akad. Wiss. 16 (1914).

    Google Scholar 

  96. Pettis, B. J. On integration in vector spaces. Trans. Amer. Math. Soc. 44 (1938) pp. 277–304.

    Article  MathSciNet  Google Scholar 

  97. Rado, T. On the problem of Plateau. Berlin (1933).

    Google Scholar 

  98. Radon, J. Theorie und Anwendungen der absolut additiven Mengenfunktionen. S. B. der Math. naturwiss. Klasse der Akad. der Wiss. Wien t. CXXII, Abt. IIa (1913) pp. 1295–1438.

    Google Scholar 

  99. Riemann, B. Gesammelte Mathematische Werke und Wissenschaftlicher Nachlass herausgegeben unter Mitwerkung von Richard Dedekind von Heinrich Weber. Dover publications Inc., New York N.Y.

    Google Scholar 

  100. Riesz, F. Sur les opérations fonctionnelles linéaires. C. R. Acad. Sc. Paris (1909).

    Google Scholar 

  101. Robinson, A. Non-standard analysis. Amsterdam (1966).

    Google Scholar 

  102. Saks, S. Theory of the integral. Warszawa (1937).

    Google Scholar 

  103. Schlesinger, L. and A. Plessner. Lebesguesche Integrale und Fouriersche Reihen. Berlin, Leipzig (1926).

    Google Scholar 

  104. Solomon, D. W. Denjoy integration in abstract spaces. Memoirs of the Amer. Math. Soc. no. 85 (1969).

    Google Scholar 

  105. Sondermann, D. Masse auf lokalbeschränkten Räumen. Ann Inst. Fourier 19, 2 (1969) pp. 33–113.

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  106. Stieltjes, Th. J. Recherches sur les fractions continues. Ann. Sci. Toulouse (1) 8 (1894) J 1–122, (1) 9 (1895) A 1–47.

    Article  MathSciNet  Google Scholar 

  107. Struik, D. J. A concise history of mathematics, London (1962).

    Google Scholar 

  108. Sydler, J.-P. Sur la décomposition des polyèdres. Comment. Math. Helv. 16 (1943/44) pp. 266–273.

    Article  MathSciNet  Google Scholar 

  109. Sydler, J.-P. Conditions nécessaires et suffisantes pour l’équivalence des polyèdres de l’espace euclidien à trois dimensions. Comment. Math. Helv. 40 (1965/66) pp. 43–80.

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  110. Tarski, A. Une contribution à la théorie de la mesure. Fundamenta Math. 15 (1930) pp. 42–50.

    MATH  Google Scholar 

  111. Tropfke, J. Geschichte der Elementar-Mathematik. 2e Auflage, Berlin/Leipzig (1921).

    Google Scholar 

  112. Vallée Poussin, C. de la. Intégrales de Lebesgue, fonctions d’ensemble, classes de Baire. Paris (1916).

    Google Scholar 

  113. Vitali, G. Sul problema della misura dei gruppi di punti di una retta. Bologne (1905).

    Google Scholar 

  114. Volterra, V. Sui principii del calcolo integrale. Giorn. Mat. Battaglini 19 (1881) pp. 333–372.

    Google Scholar 

  115. Volterra, V. Sopra le funzioni che dipendono da altre funzioni. Rend. Ac. Lincei série 4, t. 3 (1887).

    Google Scholar 

  116. Volterra, V. Leçons sur les fonctions de lignes. Paris (1913).

    Google Scholar 

  117. Volterra, V. Leçons sur les équations intégrales et les équations intégro-différentielles. Paris (1913).

    Google Scholar 

  118. Volterra, V. and J. Pérès. Théorie générale des fonctionnelles. Paris (1936).

    Google Scholar 

  119. Weil, A. L’intégration dans les groupes topologiques et ses applications. Actual. Sc. et Ind. no. 869 Paris (1940, 1953).

    Google Scholar 

  120. Weyl, H. Die heutige Erkenntnislage in der Mathematik. Symposium 1 (1925) 1–32; Gesammelte Abhandlungen II 511–542.

    MathSciNet  Google Scholar 

  121. Young, W. H. A new method in the theory of integration. Proc. London Math. Soc. (2) t. IX (1911) pp. 15–50.

    Article  Google Scholar 

  122. Zaanen, A. C. An introduction to the theory of integration. Amsterdam (1958).

    Google Scholar 

Added in proof

  1. Hawkins, Th. Lebesgue’s theory of integration. The University of Wisconsin Press (1970).

    Google Scholar 

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Lebesgue, H. (1972). The integral from Riemann to Bourbaki. In: Sets and integration An outline of the development. Springer, Dordrecht. https://doi.org/10.1007/978-94-010-2718-2_2

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