Generatori e relazioni

Estratto

Ricordiamo che il sottogruppo generato da un insieme di elementi S di un gruppo G è l’insieme di tutti i prodotti:

dove S _i ∈ S (non necessariamente distinti), ∈ _i = ± 1 e m è un intero positivo (Teor. 1.20). Per semplicità è opportuno scrivere, raccogliendo gli S _i consecutivi uguali, , con gli h _i interi relativi (s ⁰_i = 1). Nella forma (4.1) gli elementi di 〈S〉 sono parole nell’ alfabeto S ∪ S ^-1 ∪ {1}. Si può analogamente definire il sottogruppo normale generato da S, detto anche chiusura normale di S, e che si denota con 〈S〉^G. Esso è generato dagli elementi di S e dai loro coniugati, e coincide con l’intersezione dei sottogruppi normali di G (c’ è almeno G stesso) che contengono l’insieme S. Se gli elementi di S permutano tra loro, allora 〈S〉 è abeliano. Inoltre, se S è finito e tutti i suoi elementi hanno periodo finito e sono permutabili, allora anche 〈S〉 è finito. Infine, un sistema di generatori di un gruppo è minimale se nessun suo sottoinsieme proprio genera il gruppo.