Introduzione al calcolo di Malliavin

Riassunto

Questo capitolo contiene una breve introduzione al calcolo di Malliavin e alle sue applicazioni in finanza, in particolare al calcolo delle greche col metodo Monte Carlo. Abbiamo visto nella Sezione 12.4.2 che il modo più semplice per calcolare le sensitività con il Monte Carlo consiste nell’approssimare le derivate con rapporti incrementali ottenuti simulando payoff corrispondenti a valori vicini del sottostante. Se la funzione di payoff F è poco regolare (per esempio, nel caso di un’opzione digitale con strike $K{\mathbf{ }}{\text{e}}{\mathbf{ }}F = 1_{\left[ {K, + \infty [} \right.} )$ questa tecnica non è efficiente poiché il rapporto incrementale tipicamente ha una varianza molto grande. Nella Sezione 12.4.2 avevamo visto che il problema puÒ essere superato “scaricando” la derivata sulla funzione di densità del sottostante, ammesso che quest’ultima sia sufficientemente regolare: se il sottostante è descritto da un moto Browniano geometrico, ciÒ è possibile perché è nota l’espressione esplicita della densità.