Zusammenfassung
Konkretisiert werden die vorgestellten Lösungsmethoden zunächst ausführlich für 1- parametrige Strukturmodelle, wie Saiten und Stäbe, aber auch Bogenträger und Kreisringe sowie rotierende Wellen. Zunächst werden solche Schwingungen untersucht, die der so genannten Telegraphengleichung genügen, nämlich Saitenschwingungen sowie Längs- und Torsionsschwingungen von geraden Stäben. Es folgen genauso ausführlich Biegeschwingungen gerader Stäbe und zwar sowohl gemäß der elementaren Bernoulli- Euler-Theorie als auch gemäß der erweiterten Rayleigh- und Timoshenko-Theorie. Ergänzend werden Wellenausbreitungsvorgänge diskutiert. Zusätzlich werden gekoppelte Biege-Torsionsschwingungen und eine nicht separierbare Erregung analysiert; bei rotierenden Wellen steht die Berechnung biegekritischer Drehzahlen und die Untersuchung von Instabilitäten infolge innerer Dämpfung im Mittelpunkt.
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Notes
- 1.
Es sei nochmals darauf hingewiesen, dass eine genauere Torsionstheorie beispielsweise für dünnwandige Querschnittsprofile im vorliegenden Buch nicht diskutiert wird. Sie führt (siehe [24]) auf eine Differenzialgleichung vierter Ordnung in Z und ist somit keine klassische Telegrafengleichung mehr.
- 2.
Ein noch allgemeineres Problem, das auch einen Term \(w_{,Zt}\) enthält, wird bei der Untersuchung von Schwingungen axial bewegter Saiten und Stäbe auftreten, typisch im Rahmen der Beschreibung von Treibriemenschwingungen in räumlichen Koordinaten, siehe Abschn. 8.3. Dieses ist jedoch nicht mehr im Reellen separierbar und fällt deshalb aus der hier behandelten Kategorie heraus.
- 3.
Ohne Einschränkung der Allgemeinheit lässt sich gemäß der am Ende von Abschn. 3.2.4 dargestellten Vorgehensweise die Wirkung von an den Enden konzentrierten Massen, Federn sowie Dämpfer über entsprechende Delta-Distributionen in die verteilten Eigenschaften einbeziehen, allerdings hat man dann in jedem Falle ortsabhängige Koeffizienten.
- 4.
Bei halbundlichen oder unendlichen Linientragwerken können alle Zahlenwerte eines bestimmten Intervalls Eigenwerte sein, es ergibt sich damit ein kontinuierliches Spektrum. Mit den zugehörigen Eigenfunktionen wird dann der Entwicklungssatz in eine Integraldarstellung Fourierscher Art übergehen.
- 5.
Auch die Lösungen \(\lambda_{k}=k\pi,\;k=-1,-2,\ldots\) können wieder (mit gegenüber Beispiel 4.13 unveränderter Argumentation) unberücksichtigt bleiben.
- 6.
Knoten sind charakteristische Kennzeichen modaler Darstellungen und sind derart definiert, dass bei Nichtbeachten der (geometrischen) Randbedingungen die Eigenform an den Knoten identisch null ist. Knoten prägen sich auch der zugehörigen Eigenbewegung bzw. Eigenschwingung \(y(\zeta,t)\) auf: die untersuchte physikalische Größe verschwindet dort zu jedem beliebigen Zeitpunkt.
- 7.
Man kann diese idealisierte Anfangsauslenkung durch eine mittig angreifende statische Punktlast realisieren, siehe Übungsaufgabe 5.6 in Abschn. 5.6.
- 8.
Liegt eine nichtperiodische Anregung vor, so tritt auf der rechten Seite der Gleichung als Faktor die Fourier- bzw. Laplace-Transformierte des Zeitverhaltens hinzu, während \(\lambda_{{\mathrm{E}}}\) im Falle der Laplace-Transformation anstatt \({\mathrm{i}}\Omega\) die Bildvariable s enthält.
- 9.
Für konstante Streckenlast \(\bar{P}(\eta)=\bar{P}_{0}={\mathrm{const}}\) kann die erhaltene Lösung natürlich auch einfacher über Superposition von homogener und Partikulärlösung der Feldgleichung des zeitfreien Randwertproblems (5.37) mit anschließender Anpassung an dessen Randbedingungen bestätigt werden.
- 10.
Eine lokal konzentrierte Wanderlast \(p(Z,t)=P_{0}\delta_{{\mathrm{D}}}(Z-v_{0}t)\) ist ein Anwendungsfall hierfür, siehe Abschn. 5.3.
- 11.
Eine etwas allgemeinere Fragestellung wird in [23] angesprochen.
- 12.
Liegt zwischen ausgelöster Welle und den Rändern noch ein Hindernis in Form einer bestimmten Übergangsbedingung durch plötzliche Querschnittsänderung oder eine konzentrierte Zusatzmasse, wird die dort einfallende Welle nicht nur reflektiert, sondern auch transmittiert. Dieser gegenüber reiner Reflexion kompliziertere Vorgang wird im vorliegenden Buch nur noch in Übungsaufgabe 5.9 in Abschn. 5.6 angesprochen, ansonsten wird auf entsprechende Literatur (z. B. [12]) verwiesen.
- 13.
Alles Wesentliche darüber bei freien Schwingungen ist in Abschn. 5.1.4 am Beispiel der Telegrafengleichung gesagt worden.
- 14.
- 15.
In [11] wird darauf hingewiesen, dass diese verbesserte Balkentheorie eigentlich nach Bresse benannt sein sollte, der die vollständigen Differenzialgleichungen bereits 1859, d. h. 63 Jahre vor Timoshenko, in einem Lehrbuch angegeben hatte.
- 16.
- 17.
Im Gegensatz zu Stäben endlicher Länge L, für die sich genau L als Referenzgröße anbietet, ist bei der Beschreibung von Wellenausbreitungsvorgängen der Trägheitsradius \(i_{{\mathrm{T}}}\) eine entsprechend natürliche Bezugslänge.
- 18.
Der Fall \(\gamma<1\) wird in [12] betrachtet.
- 19.
Über \(c_{{\mathrm{P}}}=\omega/k_{{\mathrm{W}}}\) kann man anstelle \(c_{{\mathrm{P}}}=f(k_{{\mathrm{W}}})\) auch die Abhängigkeit \(\omega=f(k_{{\mathrm{W}}})\) beispielsweise in der dimensionslosen Weise \(\omega i_{{\mathrm{T}}}/c_{{\mathrm{L}}}=f(k_{{\mathrm{W}}}i_{{\mathrm{T}}})\) diskutieren. Es ergeben sich im Falle des Timoshenko-Balkens ebenfalls zwei Zweige \(\omega_{1}^{\mathrm{T}}i_{{\mathrm{T}}}/c_{{\mathrm{L}}}\) und \(\omega_{2}^{\mathrm{T}}i_{{\mathrm{T}}}/c_{{\mathrm{L}}}\), die bei \(\gamma> 1\) für \(k_{{\mathrm{W}}}i_{{\mathrm{T}}}=0\) bei \(\omega i_{{\mathrm{T}}}/c_{{\mathrm{L}}}=1\) und \(\omega i_{{\mathrm{T}}}/c_{{\mathrm{L}}}=0\) ausgehen und dann monoton ansteigen. In diesem Zusammenhang wird dann \(\omega i_{{\mathrm{T}}}/c_{{\mathrm{L}}}=1\) als Sperrfrequenz bezeichnet, weil unterhalb dieses Wertes der höhere Frequenzast nicht mehr existiert.
- 20.
Nochmals wird darauf hingewiesen, dass auch ein gemischter Ritz-Ansatz unter Verwendung von Vergleichsfunktionen anwendbar ist. Man erhält als Ergebnis ein System gekoppelter gewöhnlicher Differenzialgleichungen mit unbequemerer Weiterrechnung.
- 21.
Der Fall p-facher Eigenwerte mit p linear unabhängigen Eigenfunktionen ist die einfachste Entartung. In jüngeren Forschungsarbeiten [22] wird einer höhergradigen Entartung besondere Aufmerksamkeit geschenkt, bei der mehrfache Eigenwerte mit einer einzigen zusammenfallenden Eigenfunktion auftreten. Zur Unterscheidung nennt man dann die mehrfachen Eigenwerte mit entsprechend vielen linear unabhängigen Eigenfunktionen halbeinfach und erst die mehrfachen Eigenwerte mit einer einzigen zusammenfallenden Eigenfunktion tatsächlich mehrfach!
- 22.
Das instationäre Anfahren eines Rotors beispielsweise aus der Ruhe zu einem stationären Betriebszustand ist erheblich komplizierter [29].
- 23.
- 24.
Gekoppelte Biege-Torsionsschwingungen werden beispielsweise in [18] untersucht.
- 25.
Allgemeinere Fragestellungen werden beispielsweise in [27] angesprochen.
- 26.
Auch der Einfluss der inneren Dämpfung wird für den unrunden Laval-Rotor in [17] behandelt.
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Wauer, J. (2014). Schwingungen von Linientragwerken. In: Kontinuumsschwingungen. Springer Vieweg, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-8348-2242-0_5
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