Einige Überdeckungssätze der Punktmengenlehre

Zusammenfassung

Untersuchungen über den Begriff der Dimension¹ und des. Zusammenhanges von Punktmengen führen auf folgendes Problem: Es sei jedem Punkt der Menge M eines separablen metrischen Raumes eine auf den betreffenden Punkt sich zusammenziehende-Folge² offener Mengen („Umgebungen“ des Punktes) zugeordnet. Ist es möglich, aus den vorliegenden Umgebungen eine (eventuell endliche) Folge U _n herauszugreifen, so daß M in der Vereinigung der U _n enthalten ist und daß die Durchmesser der U _n, wofern die-Folge unendlich ist, gegen Null konvergieren?

Vgl. K. Menger, Über die Dimensionalität von Punktmengen, I. Teil, Monatshefte f. Math. u. Phys., XXXIII (1923), S. 148; II. Teil (vgl. insbes. § 2); ebenda XXXIV (1924), S. 137; Proc. Ac. Amst. XXVI (1924).

Wir sagen (vgl. H. Hahn, Theorie der reellen Funktionen L, S. 68), eine Folge {U _n} von Umgebungen des Punktes p zieht sich auf p zusammen, wenn in jeder Umgebung von p fast alle U _n liegen.