Zusammenfassung
Die von D. Hilbert 35) entwickelte, von E. Schmidt 41) neu begründete Eigenwerttheorie381) behandelt eine Integralgleichung 2.
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Referenzen
Vgl. die Darstellung der historischen Entwicklung des Gegenstandes in Nr. 1, 6 und 7, die übrigens im folgenden nicht vorausgesetzt wird. Die Hilbertsche Theorie wird im folgenden nach dem Abdruck seiner 1. Mitteil. (Gott. Nachr. 1904, p. 49—91) in den „Grundzügen“, 1. Abschnitt, die von ihr unabhängige Theorie von E. Schmidt nach dem Abdruck seiner Dissertation41) in Math. Ann. 63, p. 433—476 zitiert. — Über die Begründung der Eigenwerttheorie durch die Theorie der unendlichvielen Veränderlichen vgl. Nr. 40 e.
In dieser Form stehen die Definitionen an der Spitze der Theorie von E. Schmidt 381), § 4; sie setzen die Analogie mit den Längen und Richtungen der Hauptachsen einer quadratischen Fläche im n-dimensionalen Raum (s. Nr. 1) sowie mit den ausgezeichneten Parameterwerten und Eigenschwingungen der Eigenschwingungstheorie (s. Nr. 6) in Evidenz. Bei Hilbert 381), p. 14, 16 entstehen Eigenwerte und Eigenfunktionen durch den Grenzübergang aus dem algebraischen Problem (s. Nr. 33b).
D. Hilbert 381), p. 13f. durch Grenzübergang aus dem entsprechenden algebraischen Satz (Realität der Wurzeln der Säkulargleichung). — E. Schmidt 381), § 4 führt den schon von S. D. Poisson, Bull. Soc. philomat. 1826, p. 147 für die Realität der ausgezeichneten Parameterwerte von Randwertaufgaben und von A. Cauchy, Exerc. de math. 4 (1829), p. 140 = Oeuvres, 2. sér., t. IX, p. 174–195 für die Realität der Wurzeln der Säkulargleichung gegebenen Beweis direkt für die Integralgleichung durch, was sich von der Anordnung des Textes nur unwesentlich durch Vorwegnahme von c) unterscheidet.
E. Schmidt 381), § 5.
D. Hilbert 381), p. 17; E. Schmidt 381), § 4. Das Verfahren entspricht formal vollständig dem, das man seit S. D. Poisson 383) zum Beweis der Ortho-gonalität der ausgezeichneten Lösungen des Eigenschwingungsproblems verwendet.
Ein Teil dieser Aussagen folgt auch aus der Tatsache, daß die λ v die Nullstellen der Fredholmschen ganzen Transzendenten δ(λ) sind (vgl. Nr. 9, Ende). — Bei Summation über alle Eigenwerte geht (4) in eine Gleichung über; s. Nr. 34 a, (26).
Diese in den Betrachtungen von Hilbert und Schmidt 381) enthaltenen Tatsachen ergeben sich unmittelbar durch formale Rechnung mit Hilfe von (3) und (7'). — Übrigens löst (5) unmittelbar die Aufgabe, einen Kern mit endlich-vielen beliebig vorgegebenen Zahlen λ1, ..., λ n als Eigenwerten und n beliebigen normierten Orthogonalfunktionen φ 1 (s), ..., φ n (s) als Eigenfunktionen zu bilden.
K Schmidt 381), § 9.
D. Hilbert 381), p. 23.
E. Schmidt 381), § 6, § 11 Anfang. — A. Kneser, Festschr. f. H. A. Schwarz (Berlin 1914), p. 177—191, hat in Analogie zu der Kummerachen Darstellung der Diskriminante der Säkulargleichung durch eine Quadratsumme eine Darstellung gewisser Determinanten aus den u n durch Integrale über Quadrate von Determinanten aus den k (n) (s,t) gegeben.
D. Hilbert 981) p. 20 sowie Grundzüge, 2. Abschn., p. 69f. (Satz 23, 24) für n = 2; E. Schmidt 381), § 6.
J. Schur 79), insbes. § 7, § 15. Vgl. auch Nr. 39b494).
O. D. Kellogg, Amer. J. 40 (1918), p. 145—154.
D.Hilbert 381), Kap. 7, p. 28.
J. Mercer, Phil. Trans. Roy. Soc. London 209A (1909), p. 416—446; Proc. Roy. Soc. London (A) 83 (1910), p. 69—70.
D. Hilbert 396 ). Anderer Beweis bei H. Bateman, Rep. Brit. Assoc. 77 (1907), p. 447—449.
Vgl. hierzu auch H. Bateman, Messenger 37 (1907), p. 91—95. Andersartige Beispiele definiter Kerne bzw. Kriterien geben J. Mercer 397); W. H. Young, Mess, of Math. 40 (1911), p. 37—43; J. Schur, Math. Ztschr. 7 (1920), p. 232—234.
D. Hilbert 381), Kap. V, p. 29f.; kürzerer Beweis Kap. XIV, p. 193. Die erste Variation dieses Maximalproblems liefert übrigens gerade die Integralgleichung (i h ). — Ein anderer Beweis, der an Stelle der Entwicklung (14) die mit dem lösenden Kern gebildete Integralform verwendet, bei H. Bateman, Trans. Cambr. Phil. Soc. 20 (1907), p. 371—382; 21 (1908), p. 123—128. — Eine Abschätzung des kleinsten Eigenwertes λ 1 auf Grund dieses Satzes für definites k (s, t) und positives und konvexes φ1 (s) gibt Ph. Frank, Paris C. E. 158 (1914), p. 551—554.
D. Hilbert 400 ). — Diese Aussagen entsprechen in der algebraischen Analogie (Nr. 1, 6) offenbar der bekannten Charakterisierung der kleinsten Hauptachsen einer quadratischen Mittelpunkts fläche als kleinster Durchmesser überhaupt, der zweiten als kleinster Durchmesser in dem dazu senkrechten ebenen Schnitt durch das Zentrum, u. s. f.
D. Hilbert 381), p. 30; Kap. VII, p. 56ff. — Das Problem mit linearer Nebenbedingung ist nach der Methode von Nr. 15 ausführlich behandelt von W. Cairns, Diss. Göttingen 1907, 68 S.; vgl. auch A. J. Pell, Bull. Amer. Math. Soc. (2) 16 (1910), p. 412—415.
JR. Courant, Gött. Nachr. 1919, p. 255 — 264; Math. Ztschr. 7 (1920), p. 1—57; Ztschr. angew. Math. Mech. 2 (1922), p. 278—285. Wegen der Ober-tragung auf Integralgleichungen vgl. B. Hostinsky 495), B. Courant 422). — Im "wesentlichen das gleiche Schlußverfahren wird bereits in den Untersuchungen von H. Weyl 443) zur Herleitung von Aussagen über die Größenbeziehung der Eigenwerte verschiedener Kerne verwendet; insbesondere leitet H. Weyl (443), d), p. 166f.; e), § 6, Satz III) einen die Courantsche Aussage für den Fall einer Nebenbedingung (17; umfassenden Satz her, ohne allerdings die begrifflich bedeutsame Wendung zur independenten Definition der höheren Eigenwerte zu vollziehen.
Diese auch in der algebraischen Geometrie wichtige Eigenschaft ist früher merkwürdigerweise nur vereinzelt ausgesprochen worden [E. Fischer, Monatsh. f. Math. 16 (1905), p. 249; vgl. auch eine gelegentliche Bemerkung für ein besonderes Randwertproblem bei H. Poincaré, J. de Math. (5) 2 (1896), p. 261]; sie besagt, daß in der Reihe der ihrer Größe nach geordneten Absolutwerte der Hauptachsenquadrate einer quadratischen Zentralfläche des r-dimensionalen Raumes der (n + 1)te Wert der größte ist, der unter den absolut kleinsten Hauptachsenquadraten der sämtlichen durch den Mittelpunkt gelegten (r — n)-dimen-sionalen Schnitte der Fläche vorkommt.
D. Eilbert, Gött. Nachr. 1904381), p. 72; Grundzüge381), p. 22.
D. Hilbert 381), p. 23f., 25f., 193f.
JE7. Schmidt 381), § 11. Der Beweis ist einem Existenzbeweis von iZ*. A. Schwarz 25) nachgebildet; vgl. Nr. 5, p. 1352.
J. Schur 79) §12 gibt einen direkten einfachen Beweis hierfür im An-schluß an den Schmidtschen Gedankengang; man kann diese Tatsachen auch nachträglich aus (24 a) und (25) von Nr. 34 entnehmen.
E.Schmidt 881), § 8.
D. Hilbert 381), Kap. II—IV, p. 8—22. Direkte Durchführung des Grenzübergangs im Fall mehrfacher Nullstellen von δ(λ) ohne die von Hilbert 381), Kap. VI, p. 36ff. benutzte stetige Variation des Kernes bei E. Garbe 54).
A.Kneser, Palermo Rend. 22 (1906), p. 233—240. — Man kann den Beweis auch auf die Entwicklung der Resolvente nach Potenzen von X (Nr. 11, (2 a)) stützen, aus der für s = t durch Integration nach s Nr. 11, (6) entsteht.
A.Korn, Paris C. R. 144 (1907), p. 1411—1414; Literatur A 3; Arch. d. Math. (3) 25 (1916), p. 148—173. Der Beweis ist auch durchgeführt bei A. Chicca, Torino Atti 44 (1909), p. 151—159.
T. Lalesco, Paris C. R. 145 (1907), p. 906—907; Literatur A 6, p. 64: sein Kriterium für Kerne ohne Eigenwerte (Nr. 39 c, p. 1552) ergibt wegen u 4 ≠ 0 sofort den Existenzsatz.
E. Goursat 14), insbes. p. 97: die Fredholmsche Determinante von k (4)(s, t) ist vom Geschlecht 0, also müßte sie für eigenwertlose Kerne gleich 1 sein (vgl. Nr. 39, (10)), was wiederum w4 ≠ 0 widerspricht.
H. Weber, Math. Ann. 1 (1869), p.1—36; vgl. darüber Encykl. IIA 7 c, Nr. 9, A. Sommerfeld.
D. Eilbert, Jahresb. Deutsch. Math.-Ver. 8 (1900), p. 184—188 = J. f. Math. 129 (1905), p. 63—67 sowie 137).
E. Holmgren, Paris C. R. 142 (1906), p. 331 — 333; Ark. f. mat. 3 (1906), Nr. 1, 24 S. (vgl. auch ibid. 1 (1904), p. 401—417); Math. Ann. 69 (1910), p. 498—513; im wesentlichen der gleiche Gedankengang unter Ausdehnung auf die inhomogene Gleichung bei A. Sammerstein, Sitzungsb. Berlin. Math. Ges. 23 (1924), p. 3—13. Ein ähnliches Verfahren unter geringeren Voraussetzungen über k(s,t) wendet F. Biesz, Math, es term. ért. 27 (1909), p. 220—240 und 516) an.
B. Courant, Math. Ann. 89 (1923), p. 161—178; Literatur A 11, Kap.III,, insbes. § 4, 8 sowie Kap. II, § 2, 3 für die Hilfsbegriffe.
Ygl. Nr. 10 a, 3. Ist der dort bestimmte Kern G(s, t) unsymmetrisch,. so ist k n (s> t) = 1/2(G(s, t)+ G(t, s)) symmetrisch und leistet bei symmetrischem k(s, t) das gleiche wie (r(s, t). Die Ersetzung der Funktionen u p (s), v p (s) von Nr. 10 a durch orthogonale normierte lineare Kombinationen ergibt die Formel. des Textes.
R. Courant, Math. Ann. 85 (1922), p. 280—325 sowie 482).
Diese Sätze enthalten die vollständige in der Analysis mögliche Übertragung des Hauptachsentheorems der Algebra; vgl. über die Möglichkeit und die Grenzen dieser Übertragung Nr. 6 und 7, insbesondere die Formeln (16)--(21) daselbst im Vergleich zu den in der entsprechenden Bezeichnung geschriebenen analogen algebraischen Formeln (16)-— (21).
K Schmidt 381), § 8, Bei D. Hilbert 381), p. 21 wird ausdrücklich nur der Fall endlichvieler Eigenwerte erwähnt und — wie das unverändert auch für den allgemeinen Fall möglich ist — aus der Fundamentalformel (14) gefolgert.
Vgl. Encykl. IIC 10, Nr. 7, Hilb-Riesz.
E. Schmidt381), § 8. — Bei D. Hilbert 381) folgen die Formeln (24a) aus dem Fundamentaltheorem (14); vgl. insbes. p. 22, Satz 4. — Eine spezielle Anwendung dieser Sätze zur Bestimmung der Kerne, für die in (t) ist, bei G. Sannia, Lomb. Ist. Rend. (2) 44 (1911), p. 91—98.
A. Hammerstein, Sitzungsber. Preuß. Ak. d. Wiss. 1923, p. 181—184. A. Hammerstein, ibid. 1925, p. 590—595 gibt ferner ein Summationsverfahren für die Reihe (23) im Falle eines logarithmisch unendlichen Kernes in 4 Veränderlichen an.
JE. Schmidt 428). — Wegen der Bedeutung dieser Formeln für die algebraische Analogie vgl. 409).
D. Hilbert 381), Kap. Ill, insbes. p. 20f. — Die Formel (26) kann auch aus den Entwicklungssätzen von Nr. 34 c gefolgert werden.
J. Mercer 397); der Beweis beruht auf der Darstellung (26) der für λ<0 sicher definierten Resolvente, die für λ→ — „untersucht wird. — Daß die“ Voraussetzung der Stetigkeit für diesen Satz wesentlich ist, zeigt das Beispiel von O. Toepliiz 428).
A. Kneser 98), p. 195 ff. unter Verwendung eines von E. Schmidt herrührenden Beweisgedankens ; J. Schur, Festschr. f. H. A. Schwarz (Berlin 1914), p. 392—409, § 5. Die Anordnung dieser Beweise weicht von der im Text gegebenen insofern etwas ab, als aus der ohne Benutzung des Dinischen Satzes zu schließenden gleichmäßigen Konvergenz der Reihe (23) in einer der beiden Variablen die Gleichung (23) in ähnlicher Weise wie beim E. Schmidtschen Entwicklungssatz (Nr. 34 c) erschlossen wird. — Ein anderer Beweis bei E. W. Hob-son, London Math. Soc. Proc. (2) 14 (1914), p. 5—30; er konstruiert einen (unstetigen) Kern (vgl. Nr. 36 a458)), dessen iterierter k(s,t) ist.
Wegen der Bedeutung dieser Bedingung von Seiten der algebraischen Analogie vgl. Nr. 6, 7, p. 1363 ff. — Ist k(s, t) nicht abgeschlossen (Nr. 30e), so ist für die Darstellbarkeit von f(s) durch (27) notwendig, daß es orthogonal zu den zum Eigenwert ∞ gehörigen Eigenfunktionen ist. Aber auch bei abgeschlossenemk(s, t) braucht keineswegs jedes stetige f(s) durch (27) darstellbar zu sein; betrachtet man nämlich den abgeschlossenen Kern k (s,t) von 440), für den eine im Lebesgueschen Sinne quadratisch integrierbare, unstetige Funktion ω(s) die einzige zu ∞ gehörige Eigenfunktion ist, und wählt man dabei ω(s) so, daß es zu irgendeiner stetigen Funktion f(s) nicht orthogonal ist, so ist dieses f(s) nicht durch (27) darstellbar (vgl. Nr. 7, p. 1365).
D. Hilbert 381), p. 24ff. (Gött. Nachr. 1904, p. 75ff.). — Zum Beweis wird zunächst die Entwickelbarkeit einer durch den iterierten Kern k (2) (s, t) analog (27) darstellbaren Funktion aus der Hilbertschen Fundamentalformel Nr 32, (14 a) entnommen und dann auf Grund der Allgemeinheit des Kernes die Darstellung (27) durch eine ebensolche mit dem iterierten Kern approximiert.
E. Schmidt 381), § 2, § 9. Aus dem Entwicklungssatz gewinnt Schmidt nachträglich die Hilbertsche Fundamentalformel (14) von Nr. 32.
E. Schmidt 381), § 10. — Bemerkungen hierzu bei T. Boggio, Rom Acc. Linc. Rend. (5) 172 (1908), p. 454—458 und A. Proszynski, Nouv. Ann. (4) 11 (1911), p. 394—407.
Ist z. B. k(s, t) die Greensche Funktion des Randwertproblemes einer gewöhnlichen Differentialgleichung 2. Ordnung, hat also bei s = t eine Unstetig-keit in der 1. Ableitung wie |s —t|, so liefert (27) die Entwicklung aller zweimal differenzierbaren Funktionen, während der Mercersche Satz die Entwickel-barkeit einer (und damit jeder) Funktion liefert, deren erste Ableitung an einer oder endlichvielen Stellen Sprünge hat. Vgl. hierzu neben dem im Text zitierten Hübschen Encyklopädiereferat (s. insbes. auch Nr. 4) die bei A. Kneser, Literatur A 12, zusammenfassend dargestellten Untersuchungen von A. Kneser und seinen Schülern in dieser Richtung.
Wegen der Rolle dieser Methoden in der historischen Entwicklung der Integralgleichungslehre vgl. 34).
D. Hilbert381), p. 26. Daß diese Bedingung hinreichend ist, findet man ibid. p. 27 und 193; daß sie notwendig ist, ergänzt man leicht aus der Bemerkung, daß man jede stetige Funktion auf Grund der Vollständigkeitseigenschaft durch ein Aggregat von endlichvielen Eigenfunktionen im Mittel beliebig annähern kann. — Den allgemeinen Kernen entsprechen in der algebraischen Analogie quadratische Formen mit nicht verschwindender Determinante (eigentliche Zentralflächen, die keine Zylinder sind). Die Unterscheidung zwischen abgeschlossenen und allgemeinen Kernen hat kein algebraisches Analogon; ein abgeschlossener nicht allgemeiner Kern440) hat zwar keine stetigen zum Eigenwert oo gehörigen Eigenfunktionen, wohl aber unstetige bei der notwendigen Ergänzung des Funktionenraumes (vgl. Nr. 7).
Sie sind übrigens direkt durch Vermutungen angeregt worden, die aus physikalischen Betrachtungen über die asymptotische Verteilung der Eigenwerte bei der schwingenden Membran, der Hohlraumstrahlung und ähnlichen Problemen gewonnen wurden; vgl. A. Sommerfeld, Phys. Ztschr. 11 (1910), p. 1057—1066, insbes. p. 1061 f. sowie H. A. Lorentz, ebenda, p. 1234—1257, insbes. p. 1248.
H. Weyl, a) Gott. Nachr. 1911, p. 110—117; b) Math. Ann. 71 (1912), p. 441—479, insbes. § 1, 2; c) J. f. Math. 141 (1912), p. 1—11, insbes. § 2, 3; d) ebenda, p. 163—181, insbes. § 1; e) Palermo Rend. 39 (1915), p. 1—50, insbes. § 6. — In den anderen Teilen dieser Arbeiten sowie im J. f. Math. 143 (1914), p. 177—202 werden diese Sätze zur Bestimmung der asymptotischen Eigen wert-verteilung bei bestimmten Randwertaufgaben angewendet.
B. Courant 422), insbes. § 6, sowie vorher in einer Reihe von Arbeiten [403) sowie Math. Ztschr. 15 (1922), p. 195—200; vgl. auch Literatur A 11, Kap. VI] in direkter Anwendung dieses Gedankens auf Randwertprobleme von Differentialgleichungen.
H. Weyl 443)a), b). — Andere Beweise bei T. Lalesco, Paris C. R. 153 (1911), p. 541—542; Bucarest Bull. 21 (1912), p. 383—389 und A. Blondel, Paris C. R. 153 (1911), p. 1456—1458 (auch für unsymmetrische Kerne, s. Nr. 39 c).
B. Courant 403) für Randwertprobleme von Differentialgleichungen; seine Betrachtung überträgt sich sofort auf Integralgleichungen, wobei sie sich durch den Fortfall der Randbedingungen noch etwas vereinfacht.
H. Weyl 433), a), b), d). Eine Verallgemeinerung bei H. Bateman, Bull. Amer. Math. Soc. (2) 18 (1912), p. 179—182.
E. Schmidt 381), § 18; der Satz wird hier für unsymmetrische Kerne unter Verwendung der Begriffe von Nr. 36 c bewiesen (s. dazu H. Weyl 443) d).
H. Weyl 443), b), p. 447; R. Courant 422), § 6. — Bemerkungen über die Variation der Hauptfunktionen unsymmetrischer Kerne (s. Nr. 89 a) bei Abänderung des Kernes macht H. Block, Lunds univ. årsskrift 7 (1911), Nr. 1, 34 S.
In etwas allgemeinerer Form hat A. Hammerstein, Math. Ann. 93 (1924), p. 113—129; 95 (1926), p. 102—109 eine asymptotische Darstellung der Eigenfunktionen von Kernen gegeben, die die charakteristische Singularität von Greenschen Funktionen haben.
„Eigentlich singulare Integralgleichungen“, d. h. solche, bei denen die Sätze der Eigenwerttheorie nicht mehr unverändert gelten, findet man in Nr. 44.
D. Hilbert 381), Kap. VI, p. 30—35; die Methode ist die in Nr. 12b geschilderte; vgl. auch E. Garbe 54), 2. Abschn. Weiterhin kann man nach Hilbert (ibid., p. 35), falls 1/2 < α <1, durch Übergang zu einem hinreichend oft iterierten stetigen Kern wie in Nr. 12 a entsprechend modifizierte Sätze erhalten.
E. Schmidt 381), § 12. Ausdehnungen dieser Resultate auf in Lebesgue-schem Sinne integrierbare Kerne geben W. H Young 278), E. W. Hobson 433), O. B. Kellogg 419); E. W.Hobson untersucht weiterhin, wann es Kerne gibt, für die k(s, t) 2 im Lebesgueschen Sinne nach t integrierbar ist und die vorgegebene Eigenwerte und Eigenfunktionen besitzen, sowie verwandte Fragen.
D. Hilbert 381), p. 3; E. Schmidt 381), § 12.
W. A. Hurwitz 98), A. Kneser 98), G. Andreoli 101).
Jeder einzelne Wert φ(t) muß in die für eine beliebige Stelle s hingeschriebene Integralgleichung mit demselben Koeffizienten eingehen, wie φ(s) in die für t geschriebene Integralgleichung, wobei die Integrale im Sinne von Nr. 1 a als Summengrenzwerte aufzufassen sind.
Vgl. neben der in Nr. 13 c genannten Literatur insbes. JD. Hilbert, 6. Mitteil., Gött. Nachr. 1910 = Grundzüge, Kap. XVI, p. 208 ff.
E.Schmidt 381), § 14—16; Ausdehnung auf ünstetigkeiten § 17. Wegen der algebraischen Bedeutung dieser Theorie s. 483). — Andere Herleitungen geben durch Übergang zu unendlichvielen Unbekannten (s. Nr. 40 e) J. Mollerup, Darb. Bull. (2) 35 (1911), p. 266—273 sowie durch direkte Anwendung des SchmidtBchen Verfahrens (Nr. 33 a) zur Approximation der Eigenwerte in modifizierter Gestalt (vgl. 412)) A. Vergerio, Palermo Rend. 42 (1917), p. 285—302; J. Mollerup, ibid. 47 (1923), p. 375—395 und 7. Skand. Mat. Kong. København (1926), p. 447—455. Ein spezieller Fall bei É. Picard, Paris C. R. 149 (1909), p. 1337 — 1340 = Ann. Éc. Norm. (3) 27 (1910), p. 569–574.
J. Schur 493), § 1—3 beweist darüber hinaus, daß die Funktionen (37) auch nach Eigenfunktionen jedes durch Addition eines beliebigen positiv defi-niten Kernes aus k(s, t) entstehenden Kernes entwickelbar sind und gibt weitere Verallgemeinerungen.
D. Hilbert, 5. Mitteil., Gött. Nachr. 1906 = Grundzüge, Kap. XIV, p. 194; weiter ausgeführt bei E. Bounitzky, Darb. Bull. (2) 31 (1907), p. 121—128. — Für die Übertragung der Resultate von Nr. 35 s. H. Weyl 443), d).
Das Eigenwertproblem für ein etwas anderes System zweier Integralgleichungen mit zwei unbekannten Funktionen hat A. J. Pell, Amer. Math. Soc. Trans. 23 (1922), p. 198—211 durch Übergang zum analogen Problem in unend-lichvielen Unbekannten behandelt; eine Ausdehnung auf symmetrisierbare Kerne (s. Nr. 88 b) bei M. Buchanan, Amer. J. 45 (1923), p. 155—185.
Den direkten Zusammenhang zwischen typischen Schwingungsproblemen und symmetrischen Integralgleichungen erörtern Ph. Frank, Wien Akad. Sitzungsb. math.-nat. Kl. IIa, 117 (1908), p. 279—298; A. Kneser, Jahresb. Schles. Ges. vaterl. Kult. 1909, math. Sekt., 8 S.; A. Sommerfeld 442) und Jahresb. Deutsch. Math.-Yer. 21 (1913), p. 309—353.
Den Zusammenhang mit Theoremen über Fourierreihen behandelt J. Schur 433), § 4; Kerne dieser Art, die bei optischen Problemen auftreten, erörtert L. Mandelstam, Festschr. f. H. Weber (1912), p. 228—241. — H. Weyl, Math. Ann. 97 (1926), p. 338—356 hat die Theorie der fastperiodischen Funktionen auf einen solchen Kern für das Intervall (-∞, + ∞) zurückgeführt, wobei an Stelle der Integrale Mittelwerte auftreten; er geht genau nach dem Muster der E. Schmidtschen Methode vor.
Einen speziellen Fall (Kugelfläche) hat E. B. Neumann, Math. Ztschr. 6 (1920), p. 238—261 durch Zurückführung auf Differenzengleichungen vollständig durchgerechnet, allgemeinere werden in den Untersuchungen von L. Lichtenstein 365) über Gleichgewichtsfiguren eingehend behandelt; vgl. auch J. Schur 399).
D. Hilbert, Math. Ann. 72 (1912), p. 562—677 = Grundzüge, Kap. XXII, sowie D. Enslcog 72) und E. Hecke 72). Auch die Begründung der Strahlungstheorie von D. Hilbert, Gött. Nachr. 1912, p. 773—789 == Jahresb. Deutsch. Math.-Ver. 22 (1913), p. 1—20 = Phys. Ztschr. 13 (1912), p. 1056—1064 ist hier zu nennen.
Überstreichen bedeutet Übergang zu der konjugiert-imaginären Größe.
D. Hilbert, 5. Mitteil., Gött. Nachr. 1906, p. 462ff. = Grundzüge, Kap. XV, p. 195—204.
In den Arbeiten über symmetrisierbare Kerne wird für diesen Begriff zumeist die Bezeichnung „von positivem Typus" (bei A. Korn 474) „positivierend") gebraucht, dagegen das Wort „definit" für dasjenige, was hier (vgl. Nr. 32 b) als eigentlich positiv definit bezeichnet wurde (vgl. etwa T. Lalesco, Literatur A 6, p. 70). Es erscheint jedoch unzweckmäßig, die Benennung gerade in dem entscheidenden Punkte so zu wählen, daß sie derjenigen der Algebra geradezu zuwiderläuft und die Gegenüberstellung erschwert.
Der Fall eines durchweg positiven, im übrigen beliebige Werte durchlaufenden v(s) läßt sich durch eine einfache Transformation von φ und f auf den Fall eines symmetrischen Kernes zurückführen, wie schon É. Goursat, Paris C. R. 146 (1908), p. 327—329 aus Anlaß einer Notiz von T. Boggio, Paris C. R. 145 (1907), p. 619—622 hervorgehoben hat.
G. Fubini, Ann. di mat. (3) 17 (1910), p. 111 — 139; davon, daß v(s) = ±1 ist, wird entscheidender Gebrauch gemacht; es wird aber nicht wie bei Hilbert benutzt, daß v(s) nur endlichviele Zeichenwechsel im Intervall erleidet.
E. Garbe, Math. Ann. 76 (1915), p. 527—547.
Die analoge Formel für den dreimal iterierten Kern ist bereits in dem Entwicklungssatz von D. Hilbert 467) enthalten; in dieser durch die Form der Normierung (4 a) bedingten Gestalt (5 a) findet sie sich bei J. Marty, Paris C. R. 150 (1910), p. 516—518, 603—606.
A. Korn, Paris C. R. 163 (1911), p. 171—173, 327—328, 539—541; Sitzungsb. Berl. Math. Ges. 11, p. 11—18 im Arch. d. Math. (3) 19 (1912); Tôhoku J. 1 (1912), p. 159—186; 2 (1912), p. 117—136; Paris C. R. 156 (1913), p. 1965—1967; Sitzungsb. Berl. Math. Ges. 15 (1916), p. 107—114; Arch. d. Math. (3) 25 (1916), p. 148–173; 27 (1918), p. 97—120. — Der Kern, auf den Fredholm zuerst bei der potentialtheoretischen Randwertaufgabe gestoßen war, ist selbst unsymmetrisch und bildet den Ausgangspunkt dieser Versuche, die Eigenwerttheorie auf Klassen unsymmetrischer Kerne auszudehnen. Ganz im Rahmen der potentialtheoretischen Redeweise bleiben J. Blumenfeld und W. Meyer, Wien. Ber. 123 (1914), p. 2011—2047, die die Entwicklungssätze für diesen Fall, aber unter Benutzung der Mittel der Integralgleichungstheorie durchführen.
Nach einer vorangehenden Bemerkung von É. Goursat, Soc. Math. Fr. Bull. 37 (1909), p. 197 — 204 am Schluß, über Kerne der Form p(s)q(t)S(s,t) hat J. Marty, Paris C. R. 160 (April/Juni 1910), p. 1031—1033,1499—1602 diesen zusammenfassenden Begriff aufgestellt. Vgl. auch die Darstellungen bei T. Lalesco, Literatur A 6, p. 78—85; É. Goursat, Literatur B 10, p. 466—468. Wegen G. Fu-bini, Rom Acc. Line. Rend. (5) 19 (1910), p. 669—676 am Schluß, vgl. Nr. 41 b, 2 522).
T. Lalesco, Soc. Math. Fr. Bull. 45 (1917), p. 144—149, Paris C. R. 166 (1918), p. 252—253, wo ein „genre" der symmetrisierbaren Kerne eingeführt wird.
J. Marty 416) führt den Beweis für die Existenz eines Eigenwerts nach dem Master von E. Schmidt (Nr. 33 a), G. Vivanti, Lomb. Ist. Rend. (2) 48 (1915), p. 121—127 nach dem Muster von A. Kneser (Nr. 33 c414)). Vgl. ferner Th. Anghe-lutza u. 0. Tino, Paris C. R. 159 (1914), p. 362—364, sowie 0. Tino, Roum. Akad. Bull. 3 (1914), p. 141—145, wo unter Benutzung von (9) von Nr. 39 b die höheren Eigenwerte als Grenzwerte dargestellt werden.
T. Lalesco, Literatur A 6, p. 79f.; dieses D hat nur einen einzigen endlichen Eigenwert; vgl. näheres Nr. 41b, 2. Ein Beispiel dafür, daß die Eigenwerte Pole 2. Ordnung der Resolvente sein können, wenn D nicht positiv definit, sondern nur reell und symmetrisch ist, gibt er Paris C. R. 166 (1918), p. 410—411.
Der Beweis, den T. Lalesco, Literatur A 6, p. 84f. angibt, ist falsch.
J, Mercer, London Roy. Soc. Proc. (A) 97 (1920), p. 401—413; die Beweise sind nur skizziert.
Diese Voraussetzung hängt offenbar mit den beiden ersten der vier Voraussetzungen (s. Nr. 38b, 3) zusammen, die A. Korn 474) zugrunde legt.
Unter geringeren Voraussetzungen (Unstetigkeiten von K und D 1), die aber den Rahmen der Beschränktheit nicht überschreiten, modifiziert sich diese Konvergenzaussage etwas.
Diese beiden Gruppen von Eigenfunktionen sind nicht zu verwechseln mit den „zueinander adjungierten Eigenfuuktionen“ eines unsymmetrischen Kernes, die E.Schmidt 468) (vgl. Nr. 36 c) eingeführt hat [vgl. T. Lalesco, Ac. Roum. Bull. 3 (1915), p. 269—270]. Der Unterschied der dort von Schmidt behandelten Theorie von der Elementarteilertheorie der Integralgleichungen, um die es sich hier handelt, wird am besten deutlich, wenn man sich die algebraischen Analoga beider Theorien vergegenwärtigt. Dort handelt es sich um die Transformation einer Bilinearform (MATH) durch zewi orthogonale Transformationen (MATH) hier um die Vereinfachung einer linearen Transformation (Affinität) (MATH) Punkte eines und desselben Raumes dadurch, daß eine zweckmäßige Koordinatentransformation (MATH) vorgenommen wird (wobei die Transformation in -1 übergeht). Das erste Problem ist mit den gleichen Mitteln zu behandeln, wie das Hauptachsentheorem, von dem beide Probleme Verallgemeinerungen nach verschiedener Richtung darstellen; das zweite ist bereits algebraisch von weit schwierigerem Charakter und bildet den Gegenstand der Weierstraßschen Elementarteilertheorie. Wie die Theorie der symmetrisier-baren Formen (Kerne) in die letztere einzuordnen ist, ist in Nr. 41 b näher dargelegt.
Veröffentlicht haben ihre einschlägigen Untersuchungen A.C.Dixon 43) (1902), p. 203 und 95) (1909), am Ende; J. Plemelj, Monatsh. f. Math. 15 (1904), p. 93—124; É. Goursat, Paris C. R. 146 (1907), p. 667—670, 752—754; Toulouse Ann. (2) 10 (1908), p. 5—98; S. M. Fr. Bull. 37 (1909), p. 197—204; H.B. Heywood, Paris C. R. 145 (1907), p. 908—910; J. de math. (6) 4 (1908), p. 283—330 = thèse, Paris (Gauthier-Villars), sowie Literatur A 5, p. 146—159; G. Landsberg, Math. Ann. 69 (1910), p. 227—265. — Man vergleiche vor allem die Darstellung bei É. Goursat, Literatur B 10 und die bei T. Lalesco, Literatur A 6, p. 34—63, der hierbei seine früheren Arbeiten [Paris C. R. 151 (1910), p. 928—930, 1033 —1034; S. M. Fr. Bull. 39 (1911), p. 85—103] verwendet, sowie auch den Bericht von H. Hahn (1911), Literatur C 8, p. 20—27. Eine andere Darstellung der Plemeljschen Resultate insbesondere bei H. Mercer, Cambr. Trans. 21 (1908), p. 129—142.
Dies folgt aus dem algebraischen Satze von J. Schur, Math. Ann. 66 (1909), p. 488—510, insbes. p. 489—492, der besagt, daß man jede Bilinearform ∑a pq x p y q durcn eine unitäre Transformation (math) d.h. durch eine Transformation, für die (math) gilt, in eine solche Bilinearform ∑b αβ ξ α η β überführen kann, bei der b αβ fur α < β stets 0 ist. Dieser Satz ist die unmittelbare Übertragung des Hauptachsentheorems auf allgemeine Bilinearformen mit komplexen Koeffizienten und enthält noch nichts von den Schwierigkeiten der algebraischen Elementarteilertheorie.
J. Schur folgert dies aus dem in 485) angegebenen Satze und aus der Tatsache, daß ∑ a pq 2 bei unitärer Transformation invariant, also =∑ b αβ 2 ist.
J. Schur 485), § 15.
Dieses Arrangement in Anlehnung an J. Schur 486), § 15 und 79), § 1.
Diese Begriffsbildung nebst den beiden anschließenden Sätzen, die bei Plemelj noch fehlt, zuerst bei É. Goursat 484) und H. B. Heywood 484).
Wegen der Fredholmschen Determinante der Summe zweier zueinander nicht orthogonaler Kerne vgl. T. Lalesco, Darb. Bull. 42 (1918), p. 195—199.
Eine ähnliche, aber nur die Eigenfunktionen berücksichtigende Zerlegung hat E, Schmidt 42), § 6, 337), § 7 im Anschluß an seine Auflösungstheorie (Nr. 10a) angegeben: gehören zu λ1 genau r 1 Eigenfunktionen (r 1 ist dann also eventuell Meiner als die Vielfachheit dea Eigenwerts λ1), so kann man von k(s,t) eine Summe von r 1 Produkten u α (s)v α (t) derart abspalten, daß der Best λ1 nicht mehr zum Eigenwert hat, und zwar ist dies durch weniger als r 1 Produkte nicht zu erreichen.
Einen von jedem speziellen Formelapparat freien Beweis erhält man aus der Methode der Elementarteilertheorie, die weit einfacher und durchsichtiger ist als die Weierstraßsche und die im Prinzip auf E. Weyr und S. Pincherle zurückgeht: für n Variable E. Weyr, Monatsh. f. Math. 1 (1890), p. 163—236 sowie S. Pincherle und U. Amàldi, Le operazioni distributive e loro applicazioni all analisi, Bologna (Zanichelli) 1901, XII u. 490 S., cap. IV; für Integralgleichungen oder allgemeinere distributive Operationen im Bereich der stetigen Funktionen S. Pincherle 297) und Rom Acc. Linc. Rend. (5) 212 (1912), p. 572—577. Neuerdings hat für den algebraischen Fall O. Schreier unter Benutzung einer Überlegung von JET. Weyl in der Druckausgabe von F. Kleins Vorlesungen über „höhere Geometrie“ (Grundl. d. math. Wiss. 22, Berlin (Springer) 1926), § 96—98, eine Darstellung dieser Theorie gegeben. Diese kann zur Abspaltung des zu einem einzelnen Eigenwert gehörigen Hauptbestandteils sinngemäß verwendet werden. — Die Frage, ob man hierbei zu einer Auflösungstheorie der Integralgleichungen gelangen kann, die gleichzeitig auch für n Gleichungen mit n Unbekannten gilt und die deren Theorie nicht schon, wie alle vorhandenen Theorien, als bekannt voraussetzt, ist noch nirgends erörtert.
Man hat im einzelnen die Relationen (math) also insbesondere B 1 (s,t) (math) die dafür notwendig und hinreichend ist, daß B x sich ia der Form (math) darstellen läßt, wo (math) ein biorthogonales Funktionensystem ist (vgl. T. Lalesco, Literatur A 6, p. 46f.). m ist daher der größte Index, für den die m-fache Iterierte des Kernes B t (8,t) nicht identisch verschwindet, und auch die größte der am Ende von Nr. 39a, 2 erwähnten Gliederzahlen v 1 v. .. Vgl. auch 856) sowie A. Hoborski, Arch. Math. Phys. (3) 25 (1916), p. 200–202 und Krakau Akad. Bull., math.-phys. Cl. A (1917), p. 279—295. — Ein Versuch von G. D. d’Arone, Batt. G.50 [(a) 3] (1912), p. 191—192, die Stelle bei Lalesco p. 40, Zeile 10—14, zu vereinfachen, ist mißglückt. — Gh. Piatrier, J. de math. (6) 9 (1913), p. 233—304, insbes. im 2. Kap. des I. Abschn. gibt die Ausdrücke der Elementarteilerexponenten durch die Fred-holmschen Minoren nach dem Muster der algebraischen Elementarteilertheorie. — Ist k(s,t) symmetrisch, so ergibt sich leicht B r =0 für r >l, also m —1, alle Pole der Resolvente sind einfach (vgl. etwa Hey wood, Literatur A 5, p. 87).
Andere, die Theorie der Hauptfunktionen vermeidende Beweise geben J. Marty, Toul. Ann. (3) 5 (1913), p. 259—268 und D. Enskog 66), Math. Ztschr. 25 (1926), § 2 (p. 302—304). — B. Hostinsky, Univ. Mazaryk publ. Cislo 1 (1921) 14 S., beweist, daß(math) ist; J. Kaucky, ebenda, Cislo 13 (1922) 8 S., beweist es ohne Laguerresche Theorie, gestützt auf J. Schur 485) und T. Carleman 88) . — T. Lalesco, Akad. Roum. Bull. 3 (1915), p. 271 — 272, verallgemeinert (9) dahin, daß für jeden Kern (math) die Summe der reziproken Eigenwerte absolut konvergiert.
J. Schur 79) (1909), Satz III und IV. Dasselbe Resultat ohne Beweis. bei A. Blondel, Paris C. R. 150 (1910), p. 957—959.
J. Bendixson, Acta math. 25 (1902), p. 359—366 und A. Hirsch, ebendat p. 367—370.
K Laura, Rom Acc.Linc. Rend. (5) 202 (1911), p. 559—562; N. Kryloff, Paris C. R. 156 (1913), p. 1587—1589 erhält einen Spezialfall und eine andere, falsche Aussage durch einen Beweis, der einen einfachen Rechenfehler enthält O. Toeplitz, Math. Ztschr. 2 (1918), p. 187—197 erweitert den algebraischen Satz498) in einer Weise, die auf vollstetige Bilinearformen von unendlichvielen Veränderlichen und somit auf Integralgleichungen übertragbar bleibt (vgl. die Schluß-bemerkung); G. Pick, Ztschr. f. ang. Math. u. Mech. 2 (1922), p. 353—357 vermutet das gleiche für eine andere Verschärfung von 496); andere Aussagen über Kerne k, für die (math) ist, macht C. E. Seely, Amer. Math. Soc. Bull. 24 (1918), p. 470 und Ann. of math. (2) 20 (1919), p. 172—176.
R. Jentzsch, J. f. MatL. 141 (1912), p. 235—244.
J. Fredholm, Acta 2729), p. 368.
Vgl. T. Lalesco, Literatur A 6, p. 73 und J, Mercer 391).
T. Carleman, Ark. for Mat., Astr. och Fys . 12 (1917), Nr. 15, 5 S. und 88), entgegen einer Behauptung von O. Tino, Roum. Akad. Bull. 3 (1916), p. 229-—233, 277—279.
E. Garbe 471) überträgt dies auf die polare Integralgleichung (Nr. 38b): sind λ v die polaren Eigenwerte, V v die Eigenwerte des definiten Kernes D(s,t) y so ist (math) konvergent, und (math) bei allgemeinem Kern ist überdies α=0, also δ(λ) vom Geschlecht 0.
T. Lalesco, Literatur À 6, p. 116 f. und & Mazurkiewicz, Sitzungsber. Warsch. Ges. d. Wiss. 8 (1916), p. 656—662 zeigen unter der Annahme (math) und wo r — ∣t x — t 2 ∣ (Lalesco) bzw. die Distanz der Stellen t 1, t 2 des p-dimensionalen Raumes (Mazurkiewicz) ist, daß die Ordnung von ô(X) höchstens 2p/2ϱ +p ist. —- Eine Ausdehnung der Sätze von H. Weyl 443) (Nr. 35 c) über das asymptotische Verhalten der Eigenwerte stetig differenzierbarer Kerne auf den unsymmetrischen Fall bei L. Mazurkiewicz, Sitzungsber. Warsch. Ges. d. Wiss 8 (1916), p. 805–810; vgl. auch A. Blondel 446) und JT. Block 449).
T. Lalesco, Paris C. R. 145 (1907), p. 906–907, 1136—1137; Bukar. Bull. Soc. de Stünte 19 (1910), p. 46—57; vgl. dazu J. Kaucky 493).
Aus diesem Grunde reichen die Sätze über die Hauptfunktionen auch nicht hin, um für die Lehre von den vertauschbaren Kernen (Nr. 26 b, 3) einen wesentlichen Nutzen zu bringen.
D. Eilbert, 4. Mitteil., Gött. Nachr. 1906, insbes. p. 200—206, im folgenden zitiert nach dem Abdruck in „Grundzügen41, Kap. XI, insbes. p. 147—153. Wegen der Einordnung in die historische Entwicklung vgl. Nr. 8, die im folgenden nicht benutzt wird; die weniger aussagenden, aber die umfassendere Klasse der unsymmetrischen vollstetigen Formen behandelnden Sätze, die die Auflösnngstheorie der Integralgleichungen liefern, s. in Nr. 16.
J. Schur, Math. Ztschr. 12 (1922), p. 287—297 hat ein über die daraus folgenden Bedingungen hinausreichendes notwendiges und hinreichendes Kriterium für die Vollstetigkeit von (x,x) angegeben: Sind (math) die Wurzeln der charakteristischen Gleichung von n (x, x), so müssen die (übrigens sogar für jede beschränkte Form (x, x) (s. Nr. 43 a, 1) notwendig existierenden) Limites (math) der Bedingung (math) genügen.
D. Hilbert 503), p. 129ff. — Die Linearformen (5) sind laut (6) orthogonal und normiert, d. h. ihre Koeffizienten bilden ein System orthogonaler, normierter Vektoren im Sinne von Nr. 19 a, 2.
Diese Tatsachen ergeben sich entweder aus der Bemerkung, daß für die unendliche Matrix = (w pq ) die Formeln (6), (6) in der Schreibweise des Matrizenkalküls (Nr. 18 a, 6) besagen, daß ist und daß also nach Nr. 18, (8a) 28 beschränkt ist (D.Hilbert 505) — oder aber wie in 509) unter nachträglicher Hinzunahme von (6).
In der Schreibweise des Matrizenkalküls (Nr. 18 a, 5) besagt das und daraus folgt wegen Nr. 18 a, 4 und der Bemerkung in 17ß) der Beweis der obigen Behauptung. Um sie ohne Benutzung der Sätze von Nr. 18 im Sinne der Betrachtungen von Nr. 16 a zu begründen, bemerke man, daß (ξ,ξ) wegen der Vollstetigkeit von gleichmäßig durch den Abschnitt (x, x) angenähert wird, dessen endlichviele Veränderliche x 1, ...,x n als Linearformen (Nr. 16a, p. 1401) völlstetige Funktionen der ξ1, ξ2, ... sind. — Die gleiche Aussage gilt übrigens für beliebige affine Transformationen (Nr. 19 a, 4).
Vgl. dazu, auch für den Beweis, Nr. 19a, 2. und 198); für n Gleichungen (5) mit n Veränderlichen ist bekanntlich (6) und (7) eine Folge von (6), für m<n Gleichungen folgt (7 a).
D. Hilbert 505), p. 141 ff.; der Beweis ist in dem Satz p. 142 und dessen folgenden Anwendungen enthalten und läßt sich in der Ausdrucksweise von Nr. 19a so wiedergeben: ist E (q) der erste Einheitsvektor, der dem linearen Vektorgebilde mit der Basis (w α1 , w α2 , . .) nicht angehört, so werden die Koeffi- zienten (x, x) des Lotes von ibni auf dieses Vektorgebilde (Nr. 19, (9)) mit passenden Normierungsfaktoren als Koeffizienten der ersten dem System (5) hinzuzufügenden Linearform verwendet, und auf das so erweiterte System wird das gleiche Verfahren immer wieder angewendet. Das kommt offenbar auf eine bestimmte Anordnung des allgemeinen Lösungsverfahrens von Nr. 19b, 1 für die besonderen homogenen Gleichungen (math) hinaus; vgl. 208).
D. Hilbert 109), p. 148. Diese Tatsache kann etwa so begründet werden, daß man eine Folge von Stellen in (2) bestimmt, an denen (x,x) gegen ϱ 1 konvergiert, wo ϱ 1 die obere Grenze aller Werte (x,x) ist, und aus ihnen nach dem Auswahlverfahren von Nr. 16 b eine in dem dort bezeichneten Sinne gegen eine Stelle (a p ) konvergierende Folge herausgreift; wegen der Vollstetig-keitseigenschaft (Nr. 16 a, (5)) besteht dann (9). (Man vgl. dazu den Schluß von Nr. 33 d über das Maximum der quadratischen Integralform, der wegen des Auftretens stetiger Funktionen als Argumente wesentlich komplizierter ist.) Auch andere ßeweisanordnungen des Weierstraßschen Satzes kann man auf Grund der Bemerkung übertragen, daß (x,x) im Bereich (2) durch die Funktion (x,x) von n Veränderlichen gleichmäßig approximiert wird.
D. Hilbert 503), p. 148—150; die folgende Darstellung weicht nur in der Anordnung von der Hilbertschen ab. Man vgl. zu dieser Konstruktion die analogen Eigenschaften bei Integralgleichungen, Nr. 32 c; auch die Courantache Maximum-Minimumdefinition (Nr. 32 d) läßt sich auf das vorliegende Problem unmittelbar übertragen. — Spezielle Maximumaufgaben bei quadratischen Formen mit linearen Nebenbedingungen behandelt T. Kubota, Tôhoku Math. J. 18 (1920), p. 297—301; 19 (1921), p. 164—168.
Im Matrizenkalkül besagt das [vgl. 506), 507)], daß WKW gleich einer Diagonalform Ï wird, in der außerhalb der Diagonale nur Nullen, in der Diagonale die Größen ϱ α an den durch (MATH) bzw. 0 an den durch (MATH) bezeichneten Stellen stehen. Die Gleichungen (13), (13*) besagen, daß KW = Wk ist.
D. Hilbert 503), p. 147. — In dieser Theorie der quadratischen Formen von unendlichvielen Veränderlichen entfallt also die Sonderstellung des Eigenwertes ∞ und damit der Unterschied der Begriffe „abgeschlossen“ und „allgemein“, die in der Theorie der Integralgleichungen im Bereich der stetigen Funktionen wichtig sind (Nr. 30 e, 34 d), und die volle Analogie zur Algebra ist hergestellt (vgl. Nr. 7, p. 1365, Nr. 8, p. 1369).
H. v. Koch, Math. Ann. 69 (1910), p. 266—283 unter der Voraussetzung, daß (MATH) konvergiert, sowie unter etwas weiteren Voraussetzungen, vgl. 169).
D. Hilbert, 5. Mitteil., Gött. Nachr. 1906, p. 452—462; s. „Grundzüge11, Kap. XIV, p. 185—194.
Diese Tatsache setzt in Evidenz, daß es für Integralgleichungen bei Beschränkung auf stetige Funktionen nicht möglich ist, den Charakter des Eigenwertes ∞ näher zu bestimmen, während er für die vollstetige Form K (x,x) durch die Gesamtheit der Eigenformen ξα * festgelegt ist; vgl. dazu Nr. 7.
F. Biesz 264), § 14 hat den Hübertschen Gedankengang von c), d) direkt auf beliebige „vollstetige“ symmetrische Integralgleichungen angewandt, noch mit der Verallgemeinerung, daß statt der Integrale lineare Funktionaltransformationen im Sinne von Nr. 24 b auftreten.
D. Hilbert, Grandzüge, Kap. XII, p. 162 ff., leitet die Gültigkeit seiner Theorie für Hermitesche Formen aus der für reelle quadratische Formen nicht durch Wiederholung der bei diesen angewendeten Schlüsse, sondern folgendermaßen ab : kann als eine reelle quadratische Form der Veränderlichen y α und z α zusammen aufgefaßt werden; indem er auf diese das Theorem von Nr. 40d anwendet, erhält er die analogen Sätze für allgemeine Hermitesche Formen.
Die entsprechende algebraische Theorie der reellen orthogonalen Matrizen bei G.Frobenius, J. f. Math. 84 (1877), p. 51—54, wo die Herleitung jedoch auf die Elementarteilertheorie gestützt wird.
Die Bemerkungen von O. Toeplitz 496), betreffend den „Wertvorrat“ einer Bilinearform von 2 n Veränderlichen übertragen sich unmittelbar auf vollstetige normale Formen von unendlichvielen Veränderlichen.
In der Algebra pflegt man nur die beiden ersten dieser 6 Formeln hinzuschreiben und hinzuzufügen, daß die Determinante von U nicht verschwinden soll. In Rücksicht auf die nachherige Ausdehnung auf unendlichviele Veränderliche ist schon an dieser Stelle eine Schreibweise gewählt worden, die den Determinantenbegriff ausschaltet.
Vgl. etwa O. Hesse, Vorlesungen über analytische Geometrie des Raumes, 3. Aufl. 1876, p. 515 (Zusätze von S. Gundelfinger) oder JE. Pascal, Re-pertorium I, p. 127 f. (A. Loewy), genauer bei A. Loewy, J. f. Math. 122 (1900), p. 53—72, auch P. Muth, Theorie und Anw. d. Elementarteiler, Leipzig 1899, p. 122.
G.Fubini 415) (1910) tut das Entsprechende bei Integralgleichungen, ohne zu unendlichvielen Veränderlichen überzugehen, in Verallgemeinerung des Beweises von E. Holmgren 421) für die Eigenwertexistenz, und zwar für E + K — λG wo K positiv drfinit, G symmetrisch ist, so daß die untere Grenze von D = E + K sicher > 0 ist. Er macht sodann, ebenfalls ohne ausgeführten Beweis, Andeutungen über den Fall von Nr. 38 b, 2 (die Arbeit von A. Pell liegt ihm noch nicht vor) sowie über den allgemeinen symmetrisierbaren Fall von J. Marty (Nr. 38 b, 4), ohne jedoch über den letzteren Fall mehr zu sagen, als daß er ein Grenzfall des erstgenannten Typs ist.
Man bestimme nach dem Muster (Tes Hübschen S* = E — σ S hier D* = E — δD so, daß seine obere Grenze unter 1 liegt; und setze dann S)* in x ein, so erhält man eine reelle symmetrische Matrix, deren Quadrat = E — D*== δD ist, und daraus unmittelbar eine reelle symmetrische Matrix V = V′, für die V2 = V′V= D ist. — Dieses Verfahren versagt bei vollstetigem D, während die Orthogonalisierung bezüglich D in allen Fällen einheitlich ausführbar bleibt.
Für den Fall, daß S beschränkt, aber nicht vollstetig ist, hat A. J. Pell, Amer. Math. Soc. Trans. 20 (1919), p. 23—39, die Hilbertsche Theorie der Streckenspektren (vgl. Nr. 43) vom Fall D = E auf ein beliebiges, im obigen Sinne eigentlich positiv definites D übertragen. J. Hyslop, London Math. Soc. Proc. (2) 24 (1926), p. 264—304 behandelt den Fall, daß S, D beide definit und beschränkt sind.
D. Hilbert, 4. Mitteil., Gött. Nachr. 1906, p. 209 ff. = Grundzüge, Kap. XII, p. 166—162. Durch die Verwendung des Kalküls ist es möglich geworden, den ganzen Hilbertschen Beweisgang hier kurz zusammengefaßt neu darzustellen.
Neben dem Symbol wird hier und im folgenden das Symbol (x) im Sinne von ∑a pq x q (p = 1, 2, ...) gebraucht.
2). Hilbert, Grundzüge, p. 156, Satz 38.
Diese formale Analogie tritt allerdings erst dann klar hervor, wenn man die Annahme -1 == in Erscheinung bringt. Unter dieser Annahme kann man nämlich (1) so umformen: -1= -1 -1-1 = und = so daß wenigstens zwei der so umgeformten Relationen (1) mit (9) und (12) in genauer Analogie stehen
A.Pell 473) Amer. Trans., 1. Arbeit, Theorem 202; wird als eine Matrix angesetzt, die unterhalb der Diagonale nur Nullen hat und bestimmt sich durch die Forderung =.
Dieses Beispiel hat O. Toeplitz aufgestellt, nachdem er von E. Schmidt in einem Gespräch (Pfingsten 1913) erfahren hatte, daß dieser einen unsymmetrischen Kern K(s,t) aus zweigliedrigen Bestandteilen konstruiert habe, mit lauter einfachen Eigenwerten, bei dem nicht nur die Entwicklung von K(s i t) selbst, sondern auch die von ∬ K(s,t)φ(s) Ψ(t)dsdt nach dem biorthogonalen System der Eigenfunktionen φ n (s), Ψ n (t) divergiert.
Dieses Beispiel ist in der im Text gegebenen Form von 0. Toeplitz, in einer anderen, die von vornherein die übliche Anordnung der Unbekannten wahrt, von JE. Schmidt gebildet, aber nicht veröffentlicht worden.
D. Hilbert, 4. Mitteil., Gött. Nachr. 1906, insbes. p. 157—209; im folgenden zitiert nach dem Abdruck in „Grundzügen14, Kap. XI, p. 109 — 156. — Über die Einordnung in die historische Entwicklung vgl. Nr. 8, Ende; die die größere Klasse der unsymmetrischen beschränkten Bilinearformen behandelnden, aber viel weniger aussagenden Sätze s. in Nr. 18 b.
D. Hilbert 531), p. 125ff.; Hettinger-Toeplitz 164), § 4, p. 303f.
Die ersten einfachen Beispiele dafür, die D. Hilbert 531), p. 165f. gibt, sind J-Formen (s. Nr. 43 c), das einfachste (MATH) hier kann man elementar ausrechnen, daß die homogenen Gleichungen (8) für keinen Parameterwert Lösungen von konvergenter Quadratsumme besitzen, wie sie im Falle der Quadratsummendarstellung existieren müßten [vgl. E. Hellinger 543), § 3].
D. Hilbert 531), insbes. Satz 32, p. 137f., Satz 33, p. 145f. Ein analoges, weniger weitgehendes Resultat, im wesentlichen die Existenz und die (6) entsprechende Darstellung einer (nicht notwendig eindeutig bestimmten) Eesolvente, hat er gleichzeitig [ibid. Satz 31, p. 124f., vgl. dazu Nr. 19 212)] für solche nicht beschränkte Formen abgeleitet, bei denen die charakteristischen Werte (math) der Abschnitte n [vgl. (7)] mindestens eine reelle Zahl nicht zum Häufungspunkt haben (ist ∞ diese Zahl, so ist beschränkt). Übrigens werden bei Hilbert stets in der aus der Theorie der Integralgleichungen üblichen Bezeichnungsweise an Stelle der im Text benutzten Parameterwerte v,. ϱα,ϱ ihre reziproken Werte, an Stelle der Formenschar — v also die — λ verwendet; daher bestehen die bei ihm als Punkt- und Streckenspektrum bezeichneten Mengen aus den reziproken Werten der Zahlen der im Text entsprechend bezeichneten Mengen. — Das Auftreten kontinuierlich verteilter Ausnahmewerte statt abzählbar unendlich vieler Eigenwerte war bei gewissen durch trigonometrische Funktionen lösbaren Randwertaufgaben von alters her bekannt: Darstellung der Lösungen durch Fouriersche Integrale statt durch Fouriersche Reihen. Auf die Möglichkeit allgemeinerer Typen solcher „Bandenspektren“, bestehend aus un-endlichvielen getrennten Strecken, bei geeigneten Randwertaufgaben hat bereits TT. Wirtinger, Math. Ann. 48 (1897), p. 365—389, § 9 hingewiesen.
Einen ganz analogen Grenzprozeß bei einem sachlich verwandten, aber einfachere Verhältnisse darbietenden Problem der Kettenbruchtheorie hatte bereits T. J. Stieltjes 259) durchgeführt; wegen des sachlichen Verhältnisses seiner Theorie zu den beschränkten quadratischen Formen vgl. Nr. 43 c. Man vergleiche auch die kurze Andeutung von Sieltjes über den Zusammenhang seiner Untersuchungen mit Poincarés Arbeit 27) über die Eigenwerte der Potentialgleichung (s. Nr. 5, p. 1352 f. und Nr. 33 c) in Correspondance d’Hermite et de Stieltjes, t. II (Paris 1905), p. 411. — Die etwas allgemeinere Annäherung einer beschränkten Form durch passende vollstetige Formen (statt speziell durch die Abschnitte) bildet den Grundgedanken einer Methode von JE. Hilb, s. Nr. 44 a, 566). 535a) Daß es mit ihr nicht identisch ist, zeigt das Beispiel der Form 2x I x 2 +2x 3 x 4 +..., wo das Spektrum aus den Stellen ϱ = ± 1 besteht, während unter den (math) unendlichoft 0 vorkommt (vgl. O. Toeplitz 184) § 5).
H. Weyl, Palermo Rend. 27 (1909), p. 373—392, 402 hat untersucht, wie das Spektrum allgemein durch Addition einer vollstetigen Form (x, x) zu (x,x) beeinflußt wird; er fand, daß das gesamte Spektrum hierbei ungeändert bleibt, daß aber zu jedem (x, x) ein (x,x) so bestimmt werden kann, daß + kein Streckcenspektrum mehr hat. Der erste Teil dieser Aussage folgt übrigens auch direkt aus der Schlußbemerkung von Nr. 18 b, 4.
E. Bellinger 548), § 3.
D. Hilbert 531), Satz 34, p. 147. — über die Stelle 0 des Punktspek-trums (Eigenwert ∞) und den Begriff der Abgeschlossenheit gilt das in Nr. 40 d, p. 1559 und 512a) für vollstetige Formen gesagte.
Nach dem Muster der Gleichungen, die für Hilbert bei der Konstruktion seiner Beispiele 533) maßgebend waren, hat E. Hellinger 548), § 3 diese Definition gegeben; nähere Durchführung bei E. Hellinger 543), § 5. Wegen der Konstruktion sämtlicher Lösungen s. 550).
E. Hellinger 543), § 3. — Vgl. auch 542).
E, Hellinger 543), § 5; der Beweis ist die sinngemäße Übertragung des einfachen S chluß verfahren s bei Integralgleichungen 386) auf die hier obwaltenden schwierigeren Verhältnisse; vgl. dazu auch H. Weyl 567), p. 296ff., wo dasselbe Schlußverfahren bei singulären Integralgleichungen angewandt wird.
Die zur Durchführung des Überganges zu den φ p (σ 0 ) notwendige Heranziehung der Lebesgueschen Integrationstheorie bei H. Hahn 552), insbes. § 2, 4; vgl. auch E. Hellinger 548), § 8. — Sind nur endlichviele k pq in jeder Zeile ≠ 0 („finite Formen“), und kann man die Gleichungen (9) rekursiv auflösen, so kommen als Lösungen φ p nur Polynome in ϱ in Betracht; O. Toeplitz 555), Nr. 1 hat gezeigt, daß man jede beschränkte Form (x, x) durch orthogonale Transformation der Veränderlichen in eine Form jener besonderen Art überführen kann (vgl. auch die weitergehende Zerspaltung Nr. 43 c, 2).
E. Hellinger, J. f. Math. 136 (1909), p. 210—271 = Habilit.-Schrift Marburg 1909, insbes. Kap. III.
E. Hettinger 543), § 9. Die Konvergenzabschätzungen beruhen auf (11) und kommen der Sache nach auf die Übertragung der bekannten elementaren Abschätzungen des log- und arc tg-Integrales in den Matrizenkalkül (Integration von Real- und Imaginärteil der „geometrischen Reihe“ des Matrizenkalküls) hinaus.
F. Biesz, Gött. Nachr. 1910, p. 190—195. Ygl. auch die Gesamtdarstellung der Theorie in .F. Biesz, Literatur A 8, Chap. V.
In seinem Buch (Literatur A 8, Chap. V) gibt F. Biesz eine durch den Matrizenkalkül zusammengefaßte sehr durchsichtige Darstellung dieses Beweises; er kommt der Sache nach auf eine Übertragung der Approximation durch Polynome in den Matrizenkalkül hinaus. — Die Darstellung dieser Methode kann auch so ausgestaltet werden, daß K(v; x,x) als analytische Funktion von v durch ihre Potenzentwicklung nach v 1 gegeben angesehen wird und für sie die Stieltjessche Integraldarstellung der Kettenbruchtheorie (vgl. Nr. 43 c) mittel» der Lösung des Momentenproblems gegeben wird.
D. Hilbert 531), p. 153ff.
E. Hellinger, Die Orthogonalinvarianten quadratischer Formen von un endlich vielen Variabelen. Dissertation, Göttingen 1907, 84 S. — Das Zer-spaltungsverfahren insbes. in § 9, Satz III, das Kriteriuni für orthogonale Äquivalenz in § 11, Satz VIII, p. 80, in einem Spezialfall § 10, Satz VII, p. 74.
E. Hellinger 548) Kap. IL Die Definitionen findet man in Encykl. IIC 9b (Montel-Rosenthal), Nr. 35e. Wegen des Zusammenhangs mit Lebesgueschen Integralen vgl. E. Hellinger 548), p. 7, 29; H Hahn 522), § 2-, E.W. Hobson, London Math. Soc. Proc. (2) 18 (1920), p. 249—265. H Hahn 522) hat übrigens die Theorie der Orthogonalinvarianten unter Ersetzung der Hellingerschen Integrale durch Lebes-guesche mit Benutzung der Theorie der Lebesgueschen Integrale erneut dargestellt.
Aus den (MATH) entstehen durch die orthogonale Transformation, die die (MATH) in die x p überführt, Lösungen der Gleichungen (9) und durch passende Kombination mit willkürlichen Funktionen von ç entstehen sämtliche Lösungen; vgl. E. Hettinger 543), § 7, p. 256 f. — Von der Definition der orthogonalen Differentialformen als Lösungen von (9) ausgehend, hat E. Hettinger 543), Kap. II eine direkte von der Hilbertschen Theorie und der vorherigen Kenntnis der Spektralform unabhängige Herleitung der Zerspaltungsformel (15) gegeben. — Verallgemeinerungen dieses Theorems auf symmetrisierbare Formen bzw. auf Scharen symmetrischer Formen haben A.J.Pell 522) und J.Hyslop 523) gegeben (s. Nr. 41b, 3).
E. Hettinger 548), § 9, Satz IV.
H. Hahn, Monatsh. Math. Phys. 23 (1912), p. 161—224. Insbes. Nr. 35, p. 206 ff. (geordnete Systeme), sowie Nr. 42, p. 216 ff. (das Kriterium).
In den Anwendungen treten vorzugsweise solche Formen auf, bei denen jede Basisfunktion (MATH) jeder Nullmenge der ϱ-Achse eine Nullmenge in (MATH) zuordnet (darunter speziell diejenigen, bei denen die (MATH) stetig differenzierbar sind oder wenigstens einen beschränkten Differenzenquotienten haben); bei ihnen kann man stets zu Basisfunktionen übergehen, die Maßfunktionen meß-barer Mengen der ϱ-Achse sind, und die Äquivalenzbedingung reduziert sich auf die Übereinstimmung gewisser bis auf Nullmengen bestimmter meßbarer Mengen der ϱ-Achse (s. E. Hellinger 548), § 10).
C.G.J.Jacobi, Monatsber. Akad. Berlin 1848, p. 414—417 = J. f. Math. 39 (1848), p. 290—292 = Ges. Werke VI, p. 318–321; L. KronecJcer, Monatsber. Akad. Berlin 1878, p. 95—121 = Werke II, p. 37—70; E. Heine 554) p. 480ff.
E. Heine, Handbuch der Kugelfunktionen, Bd. I, 2. Aufl. (Berlin 1878), p. 420—432.
O. Toeplitz, Gött. Nachr. 1910, p. 489—506, Nr. 3; & Hellinger und O. Toeplitz, J. f. Math. 144 (1914), p. 212—238, 318, § 1.
O. Toeplitz 656), Nr. 2; der Beweis benutzt die Spektrumstheorien yon Nr. 43 a), b) nicht.
Hellinger-Toeplitz 555), § 2, 3. Der Beweis beruht auf der Konstruktion eines (19 a) genügenden Polynomsystems durch Orthogonalisieren der Potenzen ϱ p und Verwendung des Systems von Differentialformen (math) mit der Basis σ(ϱ).
Bei Stieltjes 259) selbst sind diese Bedingungen etwas anders ausgesprochen, da er in der Hauptsache die Kettenbruchform (math) behandelt; hier lauten sie einfach cn>0.
J. Grommer, J. f. Math. 144 (1914), p. 114—166 = Dissert. Göttingen; er studiert anläßlich der Behandlung eines funktionentheoretischen Problemes J-Formen, von denen im Lauf der Untersuchung zu zeigen ist, daß sie beiden Bedingungen genügen.
H. Hamburger 260), insbes. Math. Ann. 81, Satz XIV, p. 292. Vgl. auch die anderen in Nr. 22 d dazu zitierten Arbeiten.
Gewisse umfassendere Klassen nichtbeschränkter quadratischer Formen sind von T. Carleman 5<75), insbes. p. 185—188 im Rahmen seiner Untersuchungen über nichtbeschränkte Integralgleichungen (Nr. 44 c) zugleich mit behandelt worden. Man vgl. hierzu auch die Darstellung der Kettenbruchtheorie und des Momentenproblems bei T. Carleman 575), p. 189—220.
E. Hellinger, Math. Ann. 86 (1922), p. 18—29. — Die Behandlung der Gleichungen (20 a) ist analog der Behandlung von Randwertaufgaben gewöhnlicher Differentialgleichungen 2. Ordn. für ein unendliches Intervall als Grenzfall einer Randwertaufgabe für wachsendes endliches Intervall; vgl. dazu H. Weyl, Math. Ann. 68 (1910), p. 220—269, insbes. p. 225 ff. und E. Hüb, ibid. 76 (1916), p. 333—339.
0. Toeplitz, Gött. Nachr. 1907, p. 110—115 und Math. Ann. 70 (1911), p. 351—376. — Daß hier der Index der Variablen von — ∞ bis + ∞ läuft, kommt gegenüber den vorher gegebenen Erklärungen nur auf eine unwesentliche Um-ordnung der Variablen hinaus; vgl. Math. Ann. 70, p. 354, Fußn.
O. Toeplitz 555), Nr. 4; diese (nichtregulären) .L-Formen können also auch ein aus Punkten oder getrennten Stücken bestehendes Spektrum haben. Weiterhin stellt Toeplitz [555), Nr. 5; Math. Ann. 70 562), § 3, 5] Determinantenkriterien dafür auf, daß tp(&) durchweg nicht negativ ist, sowie allgemeiner solche für die Gesamtlänge der Intervalle, in denen φ(σ)≥0. Wegen der Beziehungen dieser Sätze zu C. Carathéodorys Untersuchungen über Potenzreihen mit positivem reellen Teil vgl. O. Toeplitz, Palermo Rend. 32 (1911), p. 191—192 sowie F. Biesz, Literatur A 8, p. 178 if.
M. Born und Th. v. Kármdn, Phys. Ztschr. 13 (1912), p. 297—309; 14 (1913), p. 15—19, 65—71; M. Born, Ann. d. Phys. (4) 44 (1914), p. 605—642. — Über die weitere Literatur und die zahlreichen in der Theorie der Kristallgitter betrachteten Formen dieser und verwandter Arten vgl. Encykl. V 25, M. Born, insbes. Nr. 18, 19.
E. Hilb, Math. Ann. 66 (1908), p. 1—66 = Habil.-Schrift Erlangen; die von ihm behandelten Integralgleichungen gehören zu Randwertaufgaben von Differentialgleichungen 2. Ordn. für an singulare Stellen heranreichende Intervalle und werden durch Grenzübergang aus den bekannten Sätzen über approximierende reguläre Intervalle behandelt.
JB.. Weyl, Singuläre Integralgleichungen mit besonderer Berücksichtigung des Fourierschen Integraltheorems, Dissertation Göttingen 1908, 86 S., insbes. 2. Abschn.; behandelt werden Kerne, die den Hilbertschen Beispielen Nr. 43, (14 a) für Formen mit einfachem Spektrum entsprechen.
H. Weyl, Math. Ann. 66 (1908), p. 273—324. In der Form weicht die Darstellung des Textes insofern unwesentlich von Weyl ab, als ein endliches Integrationsintervall (a, b) statt des unendlichen (0, ∞) verwendet wird.
H. Weyl 667), p. 300f. sowie 566). Weiteres über diesen Sonderfall bei M. Plancherai, Palermo Rend. 30 (1910), p. 289—335; J. Ryslop, Proc. Cambridge Phil. Soc. 22 (1924), p. 169—185 bebandelt ihn entsprechend der Darstellung von H. Hahn 549) mit Lebesguesehen Integralen.
M. Plancherel, Riv. fis. mat. 10 (1909), p. 37—53 [insbes. für den Fall von 570)] sowie Math. Ann. 67 (1909), p. 515—518 [auch für nicht beschränkte Kerne wie in 212)].
P. Nalli, Rom Acc. Linc. Rend. (5) 272 (1918), p. 118—123, 159—163, 192—196, 260—263, 316—322; 281 (1919), p. 200—204; Ann. di Mat. (3) 28 (1919), p. 235—261; Palermo Rend. 43 (1919), p. 105—124.
Von diesen Untersuchungen seien hier nur die selbständige Methoden enthaltenden Arbeiten erwähnt: E. Hilb 665) sowie Erlanger Ber. 43 (1911), p.68—71 ; Math. Ann. 76 (1915), p. 333—339 und H. Weyl, Gött. Nachr. 1909, p. 37—63; 1910, p. 442—467; Math. Ann. 68 (1910), p. 220—269.
H Weyl 566), Abschn. 3; 667), Teil 2; G.H.Hardy, London Math. Soc. Proc. (2) 7 (1909), p. 445—472; JE. Picard, Paris C. R. 151 (1910), p. 606—610; 152 (1911), p. 61 — 63; Ann. Éc. Norm. (3) 28 (1911), p. 313 — 324; J. Droste, Amsterd. Akad. Wet. Versl. 201 (1911), p. 396 — 399; F. S. Zarlatti, Paris C. R. 157 (1913), p. 198–201; Battagl. Giorn. 52 (1914), p. 187—203; E. Goursat, Paris C. R. 157 (1913), p. 843–846; J. Hyslop 670).
T. Carleman, Paris C. R. 171 (1920), p. 383—386; Sur les équations intégrales singulières à noyau réel et symétrique, Uppsala univers, ârsskrift, 1923, 228 S.
W. Eitz 123), vgl. M. Plancherei, Paris C. R. 169 (1919), p. 1152—1155; Darb. Bull. (2) 47 (1923), p. 376—383, 397—412; (2) 48 (1924), p. 12—48, 58—80, 93—109.
L. Lichtenstem1 sowie Paris C. R. 157 (1913), p. 629 — 632, 1508— 1511; J. f. Math. 146 (1914), p. 24—85; Prace mat.-fis. 26 (1914), p. 219—262; 363); Acta math. 40 (1915), p. 1—34; Math. Ztschr. 3 (1919), p. 127—160; Rospr. Wydz. inat.-fis., Polst. Akad. ümsej 59 A (1919), p. 79—89; H. Geiringer, Math. Ztschr. 12 (1922), p. 1—17.
B. Courant 363)375a)403)422)428a)444), Gött. Nachr. 1923, p. 81—84 sowie Courant-Hilbert, Literatur A 11, Kap. VI.
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Hellinger, E., Toeplitz, O. (1928). Eigenwerttheorie. In: Integralgleichungen und Gleichungen mit Unendlichvielen Unbekannten. Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-663-15917-9_3
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