Zusammenfassung
Den Gegenstand der Integralgleichungstheorie bildet die sog.
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Referenzen
Eine Integralgleichung soll stets mit (i) bezeichnet werden, wenn sie aus (J) dadurch hervorgeht, daß unter Einführung eines Parameters X der Kern K(s,t) = - λk(s,t) gesetzt wird. Die Marke h an der Gleichungsnummer soll stets den Übergang zur homogenen Gleichung (rechte Seite Null) andeuten. — Entsprechende Bezeichnungen werden bei den linearen Gleichungssystemen der Algebra (A) und bei Systemen mit un endlichvielen Unbekannten (U) angewendet werden.
D. Bernoulli, Petropol. Comm. 6 (1732/33, ed. 1738), p. 108 – 122, insbes. Nr. 16 : „Orsus itaque sum has meditationes a corporibus duobus filo fiexili in data distantia cohaerentibus; postea tria consideravi moxque quatuor, et tandem numerum eorum distantiasque qualescunque; camque numerum corporum infinitum facerem, vidi demum naturam oscillantis catenae sive aequalis sive inaequalis crassitiei Bed ubique perfecte flexilis.“ — Joh. Bernoulli, ibidem 2 (1729), p. 200 = Opera 3, p. 124, hatte lediglich die Fälle n = 2, 3, 4 erörtert.
Als markantestes Beispiel sei nur Lord Rayhigh, theory of sound, 1. Aufl. London 1877, 2. Aufl. 1894, chap. 4 und 5 angeführt.
Es sei nur auf die Schlußbemerkung von Gh. Sturm am Ende seiner großen Arbeit J. de math. (1) 1 (1836), p. 106 – 186 verwiesen, in der er andeutet, wie er auf diesem Wege von seinem algebraischen Theorem betreffend die Sturmschen Ketten zu seinem O-zillationstheorem betreffend die linearen Differentialgleichungen 2. Ordnung gelangt ist.
B. Riemann, Über die Forlpflanzung ebener Luftwellen von endlicher Schwingungsweite, Gott. Nachr. 1860 = Werke, 1. Aufl. p. 145 – 164, 2. Aufl. p. 150–175, insbes. p. 159 bzw. 170 f.
H. Burkhardt, Jahresb Deutsch. Math.-Ver. 102 (1908), XV u. 1804 S.
Ein Beispiel der lediglich heuristischen Auswertung des Analogiegedankens zur Auffindung eines wesentlichen Resultats findet man bei V. Volterra, Sulla inversione degli intearrali definiti, Torino Atti 31 (1896), p. 311–323, 400–408, 557–567, 693–708 (bzw p. 231–243, 286–294, 389–399, 429–444 der Sonderausgabe der Cl. fis., mat. e nat), insbes. Nr. 3 der 1. Note, p. 315 (bzw. 295).
Die theoretische Begründung der hier vertretenen Ansicht über die der Lehre von den Integralgleichungen 1. Art gezogenen engen Grenzen liefert in voller Schärfe erst die Methode der unendlich vielen Veränderlichen; vgl. Nr. 20 e, Nr. 22, Anfang, insbes. 240), sowie das am Ende von Nr. 6 und in Nr. 7 über den Eigenwert ∞ Gesagte. — Diejenigen Aussagen, die an die Integralgleichung 1. Art angeknüpft worden sind, findet man in Nr. 22 zusammengestellt.
J. Liouville, Sur le développement des fonctions ou parties de fonctions en séries dont les divers termes sont assujettis à satisfaire à une même équation différentielle du second ordre contenant un paramètre variable. IL J. de math. (1) 2 (1837), p. 16–35.
A Beer, Einleitung in die Elektrostatik, die Lehre vom Magnetismus und die Elektrodynamik, Braunschweig 1865, insbes. p. 62 ff.; vgl. auch Poggend. Ann. 98 (1856), p. 137 [die Hauptstelle abgedruckt bei C. Neumann 9) p. 220ff.].
C. Neumann, Untersuchungen über das logarithmische und Newtonsche Potential, Leipzig (Teubner) 1877, XVI u. 368 S.; Tgl. im übrigen Encykl. IIA 7b (Burkhardt-Meyer), Nr. 27.
P. du Bois-Reymond, J. f. Math. 103 (1888), p. 204–229. Bei dieser Gelegenheit (p. 228 f.) hat du Bois-Reymond zuerst den Namen „Integralgleichungen“ gebraucht, den Hilbert hernach von ihm übernommen hat.
Ober die Anfänge der Entwicklung der Lehre von den unendlich vielen linearen Gleichungen, deren Darstellung aus dem Rahmen der an dieser Stelle zu gebenden Genesis der Integralgleichungstheorie herausfallen würde, vergleiche man die Vorbemerkung zu II C und die daran anschließende Nr. 17.
G. W. Hill, On the part of the motion of the lunar perigee which is a function of the mean motions of the sun and moon, Cambridge (Mass.) 1877, abgedruckt in Acta math. 8 (1886), p. 1–36.
H. Poincaré, S. M. F. Bull. 14 (1886), p. 77–90.
H. v. Koch, Öfvers. Vetensk. Ak. Förh. Stockholm 47 (1890), p. 109–129, 411–431; Acta math. 16 (1892), p. 217–295; für die weiteren Arbeiten über diesen Gegenstand sei hier nur auf das Referat von H. v. Koch (s. Literatur C 5) verwiesen; vgl. im übrigen Nr. 17.
A. Cauchy, Paris C. R. 11 (1840), p. 730 = Oeuvres (1) 5, p. 391 ff.; vgL im übrigen hierzu Encykl. IIA 4 a (Painlevé), Nr. 9 und die Ergänzungen in der französ. Ausg. II 15, Nr. 9 (Painlevé).
Die Rechnung, die dies verifiziert, ist die gleiche wie beim Beweise des Satzes von der geometrischen Reihe, nur daß statt Potenzen einer Zahl Iterationen einer Integraloperation auftreten. Diese Analogie läßt den einfachen Sinn der Methode am besten hervortreten; genaueres s. in Nr. 24 a.
Der Name geht auf É. Picard zurück; vgl. die thèse von T. Lalesco, Sur l’équation de Volterra, Paris 1908, 78 S., p. 2 = J. de math. (6) 4, p 125–202.
J. Le Eoux, Sur les integrales des équations linéaires aux dérivées partielles du second ordre à deux variables indépendantes, thèse, Paris 1894 = Ann: Éc. Norm. (3) 12 (1895), p. 227–316, insbes. p 243 tf.
V. Volterra, Sulla inversione degli integrali definiti, Rom Acc. Linc. Rend. (5) 51 (1896), p. 177–185, 289–300 und Ann. di mat. (2) 25 (1897), p. 139–178.
J. J. Fourier, Preisschrift von 1811, Paris, Mém. de l’ac. R. des sc. de l’Institut de Fr. 4 (1819/20), p. 485 ff. ; vgl. im übrigen Encykl. IIA 12 (H. Burkhardt), Nr. 52 ff.
N. H. Abel, Solution de quelques problèmes à l’aide d’integrales définies, Werke (Christiania 1881) 1, p. 11–27 = Magazin for Naturv. 1 (1823); Résolution d’un problème de mécanique, Werke 1, p. 97–101 = J. f. Math. 1 (1826), p. 153–157. — S. D. Poisson, Second mémoire sur la distribution de la chaleur dans les corps solides, J. Éc. Polyt. 12 (1823), cah. 19, p. 249–403 hatte vordem schon (p. 299) eine Abelsche Integralgleichung aufgestellt, ohne ihre Lösung zu geben.
Wegen der Geschichte dieses Gegenstandes vgl. Encykl. II A 11 (Pincherle), Nr. 30, sowie die eingehende Darstellung bei Volterra 19 ).
V. Volterra 5)l9) (vgl. Nr. 23a). Als erster hat wohl J. Caqué, J. de math. (2) 9 (1864), p. 185–22 den Begriff des lösenden Kernes bei denjenigen besonderen Volterraschen Integralgleichungen 2. Art herausgearbeitet, die aus den linearen homogenen Differentialgleichungen hervorgehen; Anlaß dazu gab hier die Aufgabe, die in Nr. 3 erwähnte Liouvillesche Behandlung7) der linearen homogenen Differentialgleichung 2. Ordnung durch Entwicklung nach Iterierten auf beliebige Ordnung zu übertragen; vgl. auch U.Dini, Ann. di mat. (3) 2 (1899), p. 297–324; 3 (1899), p. 125–183; 11 (1905), p. 285–335. Auch E. Beltrami, Lomb. Ist. Rend. (2) 13 (1880), p. 327–337; Bologna Mem. (4) 8 (1887), p. 291–326 operiert in besonderen Fällen bereits mit dem lösenden Kern.
Eine Benennung tritt zuerst bei Hilbert, Grundzüge, p. 12 auf.
H. A. Schwarz, Über ein die Flächen kleinsten Flächeninhalts betreffendes Problem der Variationsrechnung, Acta soc. sc. fennicae 15 (1885), p. 315–362r = Festschr. zum 70. Geburtstag von Weierstraß = Ges. Abh. 1, p. 241 ff. — Vgl. hierzu und zum folgenden Encykl. IIA 7c (Sommerfeld), Nr. 10 und II C 11 (Hüb-Száss), Nr. 12.
É. Picard, Paris C. R.,. 117 (1895), p. 502–501.
H. Poincaré, Sur les équations de la physique mathématique, Palermo-Rend. 8 (1894), p. 57–156.
H. Poincaré, Sur la méthode de Neumann et le problème de Dirichlet, Paris C. R 120 (1895), p. 347–352; Acta math. 20 (1896), p. 59–142; vgl. auch Théorie du potentiel Newtonien, Paris 1899, p. 260 ff.
J. Fredholm, Sur une nouvelle méthode pour la résolution du problème de Dirichlet, öfvers. af Kongl. Vetensk. Ak. Forh. Stockholm 57, Nr. 1 (10. Jan. 1900), p. 39–46; Sur une classe de transformations fonctionelles, Paris C. R. 134 (27. Jan. 1902), p. 219–222, présentée par M. H. Poincaré; Sur une classe d’équations fonctionelles, ebenda (30. Juni 1902), p. 1561–1ô564; Sur une classe d’équations fonctionelles, Acta math. 27 (1903), p. 365–390.
Man vergleiche Fredholms eigene Darstellung Literatur C 6, p. 95.
Aus der umfangreichen Geschichte der Entwicklungssätze sind hier nur diejenigen Momente herausgehoben worden, die für die Entstehung der Integralgleichungstheorie und ihren algebraischen Grundgedanken sich als maßgebend erwiesen haben. Die Entstehung der Integralgleichungstheorie vollzieht sich sowohl bei Fredholm in der Auflösungstheorie wie auch hier bei Hilbert in der Eigenwerttheorie unter bewußter Abstreifung der funktionentheoretischen Methodik, die in Poincarés Untersuchungen eigentlich im Vordergrund steht. Die Linie dieser funktionentheoretischen Forschungsweise Poincarés wird unabhängig von der Entwicklung der Integralgleichungslehre und etwa gleichzeitig mit ihr von S Zaremba, W. Stekloff, A. Kneser u. a. in zahlreichen Arbeiten über Differentialgleichungen der mathematischen Physik fortgeführt. Erst an einer späteren Stelle hat die Integralgleichungstheorie ihrerseits diese Methodik in ihren Bereich einbezogen (vgl. Nr. 33 c, 39, 43 a, 4). Deshalb begnügt sich die hier gegebene Darstellung, die nur die Entstehungsgeschichte der Integralgleichungstheorie skizzieren will, mit einem solchen kurzen Hinweis auf die angeführten Untersuchungen, und sie konnte dies um so eher, als sich in Encykl. IIC 11 (Hilb-Szász), Nr. 12 ein zusammenhängender historischer Überblick darüber findet.
D. Hilbert, 1. Mitteil., Gött. Nachr. 1904, p. 49–91 = Grundzüge, 1. Abschnitt; 2. Mitteil., Gött. Nachr. 1904, p. 213 – 259 = Grundzüge, 2. Abschnitt. Vorausgegangen waren Veröffentlichungen in den Göttinger Dissertationen von O. D. Kellogg, 1902, IV u. 43 S. [vgl. auch denselben55)], A.Andrae, 1903, 111 S., Ch. M. Mason, 1903, IV u. 75 S., nachdem Hilbert seine Theorie in Vorlesungen und Seminaren seit dem Winter 1901/02 vorgetragen hatte.
Es war nicht unwesentlich, daß H. Burkhardt, S. M. F. Bull. 22 (1894), p. 71–75, auf eine Anregung von F. Klein hin und mit Benutzung der Betrachtungsweise von É. Picard das Analogon der Greenschen Funktion für den Fall eindimensionaler Schwingungsvorgänge (sich selbst adjungierte homogene lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung) untersucht hatte. Hilbert fand darin das Hilfsmittel vor, um auch diese Schwingungsprobleme unmittelbar in Integralgleichungen umzuformen.
Man findet die Ãœberlegung, die notwendig ist, um dieses Beispiel aus einer Bemerkung von E. Fischer abzuleiten, in Nr. 34 c434)440).
D. Hilbert, 4. und 5. Mitteil., Gött. Nachr. 1906, p. 157–227 und p. 439 – 480 = Grundzüge, 4. und 5. Abschnitt, p. 109 ff.
H. A. Schwarz 25), Ges. Abh. 1, p. 251 ; aufgetreten war sie vorher schon hier und da, z. B. bei Bouniakowsky, Mém. Acad. Petersb. (VII) 1 (1859), Nr. 9, p. 4, ebenso wie ihr algebraisches Analogem seit Lagrange und Cauchy 114) bekannt war.
E. Schmidt, Entwicklung willkürlicher Funktionen nach Systemen vorgeschriebener, Diss. Göttingen 1905, 33 S. = Math. Ann. 63 (1907), p. 433–476.
E Schmidt, Auflösung der allgemeinen linearen Integralgleichung, Math. Ann. 64 (1907), p. 161–174
A. C. Dixon, On a class of matrices of infinite order, and on the existence of „matricial“ functions on a Riemann surface, Cambr. Trans. 19 (1902)t p. 190–233, der Red. vorgelegt 15. Mai 1901.
Chr. J. de la Vallée-Poussin, Ann. soc. sc. Brux. 17 b (1893), p. 18–34; vgl. im übrigen Encykl. IIC 10 (Hilb-M. Biesz), Nr. 9, Anm.90), p. 1210.
A. Hurwitz, Math. Ann. 57 (1903), p. 425–446; 59 (1904), p. 553.
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Hellinger, E., Toeplitz, O. (1928). Ursprung der Theorie. In: Integralgleichungen und Gleichungen mit Unendlichvielen Unbekannten. Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-663-15917-9_1
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