Zusammenfassung
In diesem einführenden Kapitel sind insbesondere Begriffe und Resultate aus der Wahrscheinlich-keitstheorie zusammengestellt, die als bekannt vorausgesetzt werden. Auf diese wird in den folgenden Kapiteln häufig zurückgegriffen. Hierzu gehören die fast sichere und die stochastische Konvergenz sowie die Konvergenz im p-ten Mittel und die Verteilungskonvergenz reeller Zufallsvariablen. Als bekannt angenommen werden insbesondere das starke Gesetz großer Zahlen und die zentralen Grenzwertsätze von Lindeberg-Lévy und Lindeberg-Feller sowie grundlegende Eigenschaften der bedingten Erwartung. Ferner sollten der Begriff der charakteristischen Funktion sowie der Stetigkeitssatz von Lévy-Cramér zum Nachweis von Verteilungskonvergenz bekannt sein. Das Kapitel enthült einen Beweis des Satzes, dass die Verteilung eines Zufallsvektors durch dessen charakteristische Funktion eindeutig bestimmt ist. Es schließt mit wichtigen Resultaten aus der Maß- und Integrationstheorie.
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Notes
- 1.
Andrej Nikolajewitsch Kolmogorow (1903–1987), Professor in Moskau (ab 1930), einer der bedeutendsten Mathematiker der Gegenwart, leistete unter anderem fundamentale Beiträge zur Wahrscheinlichkeitstheorie, Mathematischen Statistik, Mathematischen Logik, Topologie, Maß- und Integrationstheorie, Funktionalanalysis, Informations- und Algorithmentheorie.
- 2.
Émile Borel (1871–1956), ab 1909 Professor an der Sorbonne in Paris. Hauptarbeitsgebiete: Funktionentheorie, Mengenlehre, Maßtheorie, Wahrscheinlichkeitstheorie, Spieltheorie.
- 3.
Francesco Paolo Cantelli (1875–1966), italienischer Mathematiker, Professor für Versicherungsmathematik in Catania, Neapel und Rom. Er gründete die italienische Aktuarsvereinigung Istituto Italiano degli Attuari. In der Stochastik ist er vor allem durch das Borel–Cantelli-Lemma, die Cantelli-Ungleichung und den Satz von Gliwenko–Cantelli bekannt.
- 4.
Pafnuti Lwowitsch Tschebyschow (1821–1894), ab 1850 Professor in St. Petersburg. Hauptarbeitsgebiete: Zahlentheorie, konstruktive Funktionentheorie, Integrationstheorie, Wahrscheinlichkeitstheorie.
- 5.
Andrej Andrejewitsch Markow (1856–1922), Professor an der Universität St. Petersburg (ab 1893). Markow war politisch progressiv (legte u. a. unter Protest alle Orden undEhrenzeichen ab, als auf zaristischen Befehl die Wahl Maxim Gorkis zum Mitglied der Akademie abgelehnt wurde); Hauptarbeitsgebiet: Wahrscheinlichkeitstheorie (Markow–Ketten).
- 6.
Paul Lévy (1886–1959), 1919–1959 Professor an der École Polytechnique in Paris. Neben A.N. Kolmogorow und A.J. Chintschin kann Lévy als Hauptbegründer der modernen maßtheoretisch fundierten Wahrscheinlichkeitstheorie angesehen werden.
- 7.
Harald Cramér (1893–1985), Professor in Stockholm (1929–1958). Hauptarbeitsgebiete: Stochastik, Versicherungsmathematik. Sein einflussreiches Buch [CRA] wird als das erste mathematisch akkurate und zugleich gut lesbare Lehrbuch der Statistik angesehen.
- 8.
Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805–1859), 1831–1855 Professor an der Berliner Universität, 1855 Berufung auf den Lehrstuhl von C.F. Gauß in Göttingen. Hauptarbeitsgebiete: Zahlentheorie, Analysis, Mathematische Physik.
- 9.
Gustav Herglotz (1881–1953), Professor in Göttingen (1907), Wien (1908), Leipzig (1909–1925) und Göttingen (1925–1947). Hauptarbeitsgebiete: Funktionentheorie, Potentialtheorie, Differentialgeometrie, Zahlentheorie, Differentialgleichungen, Strömungsprobleme.
- 10.
Johann Karl August Radon (1887–1956), Professor in Hamburg (ab 1919), Greifswald (ab 1922), Erlangen (ab 1925) und Breslau (ab 1928). Ab 1947 Professor in Wien. Hauptarbeitsgebiete: Variationsrechnung, Differentialgeometrie, absolut additive Mengenfunktionen.
- 11.
Herman Ole Andreas Wold (1908–1992), Promotion 1938 unter H. Cramér, Professor für Mathematische Statistik in Uppsala (1942–1970) und Gothenburg (1970–1975). Hauptarbeitsgebiete: Mathematische Statistik, Ökonometrie.
- 12.
Jarl Waldemar Lindeberg (1876–1932), finnischer Landwirt und Mathematiker.
- 13.
William Feller (1906–1970), studierte u. a. 1925–1928 in Göttingen bei D. Hilbert und R. Courant, 1928 Privatdozent an der Universität Kiel, 1933 Emigration nach Kopenhagen und 1934–1939 nach Stockholm, Professor an der Brown University Providence (1939–1945), Cornell University (1945–1950), Princeton University (1950–1970). Hauptarbeitsgebiete: Analysis, Geometrie, Funktionalanalysis, Maßtheorie, Wahrscheinlichkeitstheorie.
- 14.
Alexander Michailowitsch Ljapunow (1857–1918), 1885 Dozent und 1892 Professor an der Universität Charkow, ab 1901 Professor an der St. Petersburger Universität. Hauptarbeitsgebiete: Stabilitätstheorie mechanischer Systeme, Wahrscheinlichkeitstheorie, Potentialtheorie.
- 15.
Andrew Campbell Berry (1906–1998), US-amerikanischer Mathematiker, ab 1941 Professor am Lawrence College, Appleton, Wisconsin. Hauptarbeitsgebiete: Fouriertransformation, Wahrscheinlichkeitstheorie
- 16.
Carl-Gustav Esseen (1918–2001), schwedischer Mathematiker, Professor an der Königlich-Technischen Hochschule in Stockholm und an der Universität Uppsala. Hauptarbeitsgebiet: Wahrscheinlichkeitstheorie.
- 17.
Charles M. Stein (1920–2016), US-amerikanischer Statistiker, ab 1953 Professor an der University of Stanford, Kalifornien. Nach ihm sind u. a. die Stein’sche Methode, das Stein’sche Lemma und das Stein’sche Paradoxon benannt. Stein war erklärter Pazifist. Wegen Protesten gegen die Apartheid-Politik geriet er als erstes Mitglied seiner Universität in Arrest.
- 18.
Jewgeni Jewgenjewitsch Slutsky (1880–1948), arbeitete ab 1926 am Zentrum für Statistik und ab 1931 am Zentralinstitut für Meteorologie in Moskau. Ab 1934 war er am Mathematischen Institut der Akademie der Wissenschaften tätig. Hauptarbeitsgebiete: Statistik, insbesondere Zeitreihenanalyse.
- 19.
Anatoli Volodymyrowytsch Skorochod (1930–2011), ukrainischer Mathematiker, Professor an der Universität Kiew (ab 1964) und an der Michigan State University (ab 1993), ab 1985 Mitglied der Nationalen Akademie der Wissenschaften der Ukraine. Hauptarbeitsgebiete: Stochastische Differentialgleichungen, Grenzwertsätze für stochastische Prozesse.
- 20.
Pierre Joseph Louis Fatou (1878–1929), ab 1901 am astronomischen Observatorium in Paris. Hauptarbeitsgebiete (neben astronomischen Forschungen): Funktionentheorie, Funktionalgleichungen.
- 21.
Beppo Levi (1875–1961), Professor in Piacenza (ab 1901), Cagliari (ab 1906), Parma (ab 1910) und Bologna (ab 1928), ab 1939 Honorarprofessor an der Universität in Rosario. Hauptarbeitsgebiete: Algebraische Geometrie, Analysis, Zahlentheorie, partielle Differentialgleichungen.
- 22.
Henri Léon Lebesgue (1875–1941), 1919 Professor an der Sorbonne, ab 1921 Professor am Collège de France. Hauptarbeitsgebiete: Reelle Analysis, Maß- und Integrationstheorie, Topologie.
- 23.
Otton Martin Nikodým (1887–1974), 1927–1939 Dozent an den Universitäten Warschau und Krakau, 1947–1965 Professor am Kenyon College in Gambier (USA). Hauptarbeitsgebiete: Funktionalanalysis, Maßtheorie, mengentheoretische Topologie.
- 24.
Leonida Tonelli (1885–1946), Professor in Cagliari (ab 1913), Parma (ab 1915), Pisa (ab 1930 mit einer Unterbrechung in Rom (1939–1942)). Hauptarbeitsgebiet: Variationsrechnung.
- 25.
Guido Fubini (1879–1943), Professor in Turin (ab 1910) und Princeton (ab 1943). Hauptarbeitsgebiete: Projektive Differentialgeometrie, automorphe Funktionen, diskontinuierliche Gruppen.
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Henze, N. (2024). Grundlagen aus der Wahrscheinlichkeitstheorie. In: Asymptotische Stochastik: Eine Einführung mit Blick auf die Statistik. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-68446-7_1
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