Zur Unmöglichkeit der Würfelverdoppelung und der Winkeldreiteilung

Zusammenfassung

Genauso, wie wir nach möglichen Faktorisierungen ganzer Zahlen fragen können, können wir nach Faktorisierungen von Polynomen (in Polynome kleineren Grades) fragen, wie wir im letzten Kapitel gesehen haben. Dabei nennen wir ein Polynom irreduzibel, wenn es keine solche Faktorisierung zulässt. Die irreduziblen Polynome spielen also die Rolle der Primzahlen im Ring der Polynome. Jedes lineare Polynom $X - a$ muss irreduzibel sein, denn schon aus Gradgründen kann es keine Faktorisierung in Polynome kleineren Grades geben. Aufgrund des Fundamentalsatzes der Algebra sind die linearen Polynome wiederum die einzigen irreduziblen, wenn wir als Koeffizientenbereich die algebraischen Zahlen voraussetzen. Über den rationalen Zahlen ist die Theorie dagegen komplizierter, aber auch interessanter. So gibt es nichtirreduzible Polynome höheren Grades wie $X^2 - 1 = (X - 1) \cdot (X + 1)$, wie auch irreduzible wie $X^2 + 1$. Es stellt sich die natürliche Frage, wie wir feststellen können, ob ein Polynom, sagen wir über den rationalen Zahlen, irreduzibel ist. Dazu geben wir ein numerisches Verfahren an, durch das wir mit Sicherheit feststellen können, ob ein solches Polynom irreduzibel ist oder nicht. Daraus folgt, dass jedes Polynome eine im Wesentlichen eindeutige Zerlegung in ein Produkt irreduzibler Polynome besitzt, vergleichbar mit der Primfaktorzerlegung ganzer Zahlen. Auch wenn das numerische Verfahren, welches wir angeben, immer funktioniert, gibt es für viele Fälle einfachere Kriterien für die Irreduzibilität. Wir stellen dazu das eisensteinsche Kriterium und ein weiteres Verfahren vor, welches Irreduzibilität modulo einer Primzahl untersucht. Dazu vergleichen wir insbesondere die Irreduzibilität von Polynomen mit rationalen Koeffizienten mit der Irreduzibilität von Polynomen mit ganzzahligen Koeffizienten. Eine algebraische Zahl z ist definiert als eine komplexe Zahl, welche Nullstelle eines Polynoms mit rationalen Koeffizienten ist. Es zeigt sich nun, dass es unter diesen genau ein irreduzibles normiertes gibt, das sogenannte Minimalpolynom von z. Den Grad dieses Minimalpolynomes nennen wir einfach den Grad von z. Mit Hilfe dies Gradbegriffes zeigen wir schließlich am Ende des Kapitels, dass sowohl weder die Würfelverdoppelung noch die Winkeldreiteilung allein mit Zirkel und Lineal möglich ist.

Es gibt eine natürliche Ordnung im Reich der algebraischen Zahlen.

Appendices

Zusammenfassung

• Je zwei Polynome besitzen einen größten gemeinsamen Teiler.

• Der größte gemeinsame Teiler lässt sich mit dem euklidischen Algorithmus berechnen.

• Ein Polynom heißt separabel, wenn es in den algebraischen Zahlen keine mehrfachen Nullstellen besitzt, wenn seine Diskriminante also nicht verschwindet. Ein Polynom ist genau dann separabel, wenn es zu seiner formalen Ableitung teilerfremd ist. Es reicht, separable Polynomgleichungen zu studieren.

• Bei gegebenem Koeffizientenbereich heißt ein Polynom irreduzibel, wenn es sich nicht als Produkt von Polynomen kleineren Grades schreiben lässt. Über den rationalen Zahlen gibt es einen effektiven numerischen Test auf Irreduzibilität.

• Erfüllt ein primitives Polynom das eisensteinsche Kriterium, so ist es irreduzibel.

• Ist ein normiertes ganzzahliges Polynom irreduzibel modulo einer Primzahl, so ist es auch über den rationalen Zahlen irreduzibel.

• Jede algebraische Zahl x ist Nullstelle genau eines normierten irreduziblen Polynoms mit rationalen Koeffizienten. Dieses Polynom heißt das Minimalpolynom von x. Der Grad des Minimalpolynoms ist der Grad der algebraischen Zahl. Die rationalen Zahlen sind genau die algebraischen Zahlen vom Grad 1 über den rationalen Zahlen.

• Ist y eine algebraische Zahl, so können wir Minimalpolynom und Grad von x auch über y betrachten, wobei die Koeffizienten des Minimalpolynoms von x über y in y rationale Zahlen sein dürfen.

• Nach der Gradformel ist der Grad von x über den rationalen Zahlen gleich dem Grad von x über y multipliziert mit dem Grad von y über den rationalen Zahlen.

• Damit zeigen wir, dass der Grad einer konstruierbaren Zahl über den rationalen Zahlen immer eine Zweierpotenz ist, denn das eine Quadratwurzel x aus einer algebraischen Zahl y ist entweder vom Grad 1 oder vom Grad 2 über y.

• Für die Würfelverdoppelung mit Zirkel und Lineal, ist die Konstruktion von $\root 3 \of {2}$ nötig. Diese Zahl hat aber Grad 3 über den rationalen Zahlen, da sie Nullstelle des irreduziblen Polynoms $X^3 - 2$ ist.

• Der Kosinus von $20^\circ$ ist Nullstelle eines irreduziblen Polynoms vom Grad 3 über den rationalen Zahlen und damit nicht konstruierbar. Da $\cos 60^\circ$ konstruierbar ist, folgt, dass die Winkeldreiteilung mit Zirkel und Lineal im Allgemeinen nicht möglich ist.

Aufgaben

Separabilität

4.1

Seien

$$\begin{aligned} f(X) = X^3 - 2 X^2 + 2 X - 4 \end{aligned}$$

und

$$\begin{aligned} g(X) = X^2 - 3 X + 2 \end{aligned}$$

wie in Beispiel 4.1. Gib Polynome $p(X)$ und $q(X)$ mit $(X - 2) = p(X) \cdot f(X) + q(X) \cdot g(X)$ an.

4.2

Gib einen Beweis von Proposition 4.2 an.

4.3

Seien $f(X)$ und $g(X)$ zwei Polynome mit algebraischen Koeffizienten. Zeige, dass genau ein normiertes Polynom $d(X)$ (der Fall $d(X) = 0$ ist ausdrücklich zugelassen) existiert, welches ein größter gemeinsamer Teiler von $f(X)$ und $g(X)$ ist.

4.4

Seien $f(X)$ und $g(X)$ zwei Polynome mit algebraischen Koeffizienten. Definiere und konstruiere danach das kleinste gemeinsame Vielfache von $f(X)$ und $g(X)$.

4.5

Sei $f(X)$ ein normiertes Polynom über den rationalen Zahlen. Zeige, dass $f$ genau dann separabel ist, wenn der größte gemeinsame Teiler von $f(X)$ und $f'(X)$ das konstante Polynom $1$ ist.

4.6

Gib eine normierte Polynomgleichung minimalen Grades über den rationalen Zahlen an, welche dieselben Lösungen (ohne Vielfachheiten) wie die Gleichung

$$\begin{aligned} X^7 + X^6 - 4 X^4 - 4 X^3 + 4 X + 4 = 0 \end{aligned}$$

besitzt.

4.7

Sei $a$ eine algebraische Zahl. Sei $f(X) = X^3 + 2 a^2 X - a + 5$. Konstruiere eine Polynomgleichung mit rationalen Koeffizienten, welche von $a$ genau dann erfüllt wird, wenn $f(X)$ kein separables Polynom ist.

Irreduzible Polynome

4.8

Ist ein normiertes Polynom vom Grad $1$ und mit rationalen Koeffizienten immer irreduzibel?

4.9

Seien $x$ und $y$ zwei algebraische Zahlen mit $x \cdot y = 0$. Zeige, dass dann $x = 0$ oder $y = 0$ (oder beides).

4.10

Zeige, dass normierte Polynome vom Grad $2$ und $3$ über den rationalen Zahlen genau dann irreduzibel sind, wenn sie keine rationale Nullstelle besitzen.

4.11

Zeige, dass das Polynom

$$\begin{aligned} f(X) = X^3 - \frac{3}{2} X^2 + X - \frac{6}{5} \end{aligned}$$

keine rationale Nullstelle besitzt.

4.12

Seien $f(X)$ und $g(X)$ zwei normierte Polynome mit rationalen Koeffizienten. Gib ein Verfahren für die Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von $f(X)$ und $g(X)$ über die Zerlegung von $f(X)$ und $g(X)$ in irreduzible Polynome an.

4.13

Sei $f(X) \ne 1$ ein normiertes Polynom über den rationalen Zahlen, welches prim ist, das heißt: Teilt $f(X)$ ein Produkt $g(X) \cdot h(X)$ von Polynomen $g(X)$ und $h(X)$ mit rationalen Koeffizienten, so teilt $f(X)$ mindestens einen der Faktoren $g(X)$ und $h(X)$. Zeige, dass $f(X)$ ein irreduzibles Polynom ist.

4.14

Sei $f(X)$ ein normiertes irreduzibles Polynom mit rationalen Koeffizienten. Seien $g_1(X)$, ..., $g_n(X)$ weitere Polynome mit rationalen Koeffizienten. Sei $f(X)$ ein Teiler des Produktes $g_1(X) \cdots g_n(X)$. Zeige, dass dann ein $i \in \left\{ 1, \dotsc , n \right\}$ existiert, sodass $f(X)$ ein Teiler von $g_i(X)$ ist.

4.15

Zeige, dass sich die Bewertung wie ein Logarithmus verhält. Damit ist Folgendes gemeint: Sei $p(X)$ ein irreduzibles normiertes Polynom über den rationalen Zahlen. Dann gelten

$$\begin{aligned} {{\,\mathrm{ord}\,}}_{p(X)} 1 = 0 \end{aligned}$$

und

$$\begin{aligned} {{\,\mathrm{ord}\,}}_{p(X)} (f(X) \cdot g(X)) = {{\,\mathrm{ord}\,}}_{p(X)} f(X) + {{\,\mathrm{ord}\,}}_{p(X)} g(X) \end{aligned}$$

für beliebige normierte Polynome $f(X)$ und $g(X)$.

Irreduzibilität über den ganzen Zahlen

4.16

Bestimme numerisch die Nullstellen von $f(X) = X^4 - 10 X^2 + 1$ bis auf wenige Stellen nach dem Komma, und nutze diese Information, um zu zeigen, dass $f(X)$ über den rationalen Zahlen irreduzibel ist.

4.17

Sei $f(X)$ ein nichtverschwindendes Polynom mit rationalen Koeffizienten. Zeige, dass der Inhalt von $f(X)$ genau dann ganzzahlig ist, wenn $f(X)$ ganzzahlige Koeffizienten besitzt.

4.18

Sei $f(X)$ ein normiertes Polynom mit rationalen Koeffizienten. Zeige, dass der Inhalt von $f(X)$ das Inverse des führenden Koeffizienten von $\tilde{f}(X)$ ist.

4.19

Sei $f(X)$ ein Polynom mit rationalen Koeffizienten. Zeige, dass der Inhalt von $f(X)$ das Inverse einer ganzen Zahl ist, wenn $f(X)$ normiert ist. Gilt auch die Umkehrung?

4.20

Sei $f(X) = X^6 + X^5 + X^4 + X^3 + X^2 + X + 1 = 0$. Zeige, dass $f(X)$ irreduzibel ist.

4.21

Sei $f(X) = X^5 + X^4 + X^3 + X^2 + X + 1$. Zeige, dass $f(X)$ nichtirreduzibel ist.

4.22

Gib ein Beispiel dafür an, dass die Bedingung im eisensteinschen Irreduzibilitätskriterium Proposition 4.5, dass $p^2$ kein Teiler von $a_0$ ist, notwendig ist.

4.23

Gib ein Beispiel dafür an, dass die Bedingung im eisensteinschen Irreduzibilitätskriterium Proposition 4.5, dass $p$ ein Teiler von allen $a_0$, ..., $a_{n - 1}$ ist, notwendig ist.

4.24

Seien $f(X)$ und $g(X)$ zwei normierte Polynome positiven Grades und mit rationalen Koeffizienten, sodass $f(g(X))$ irreduzibel ist. Ist dann auch $g(X)$ irreduzibel?

Irreduzibilität modulo einer Primzahl

4.25

Seien $a$, $a'$, $b$ und $b'$ vier ganze Zahlen, sodass die Kongruenzen $a \equiv a'$ und $b \equiv b'$ modulo einer weiteren ganzen Zahl $n$ gelten. Rechne explizit nach, dass $a + b \equiv a' + b'$ modulo $n$.

4.26

Sei $a$ eine ganze Zahl mit $a \equiv 1$ modulo $3$. Für welche Exponenten $n$ ist dann $a^n \equiv 2$ modulo $3$?

4.27

Berechne zwei Inverse von $6$ modulo $35$.

4.28

Seien $n$ eine nichtnegative ganze Zahl und $a$ eine ganze Zahl, welche teilerfremd zu $n$ ist. Seien $b$ und $b'$ zwei ganze Zahlen mit $a b \equiv a b' \equiv 1 \pmod n$. Zeige, dass $b \equiv b' \pmod n$.

4.29

Sei $f(X)$ ein normiertes Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten. Sei $p$ eine Primzahl, sodass $f(X)$ modulo $p$ nichtirreduzibel ist. Ist dann auch $f(X)$ nichtirreduzibel?

4.30

Seien $b_0$, ..., $b_m$ ganze, von null verschiedene Zahlen. Zeige, dass es nur endlich viele Polynome $g(X)$ mit ganzzahligen Koeffizienten und $\deg g(X) \le m$ gibt, sodass für alle $i \in \left\{ 0, \dots , m \right\}$ die ganze Zahl $g(i)$ ein Teiler von $b_i$ ist.

4.31

Sei $f(X)$ ein primitives Polynom vom Grad $n$ mit ganzzahligen Koeffizienten. Sei $f(i) \ne 0$ für alle ganzen Zahlen $i$ mit $0 \le i \le \frac{n}{2}$.

Sei

$$\begin{aligned} f(X) = g(X) \cdot h(X) \end{aligned}$$

(4.23)

eine Faktorisierung, wobei $g(X)$ und $h(X)$ Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten sind. Ohne Einschränkung nehmen wir an, dass $\deg g(X) \le \frac{n}{2}$ (ansonsten vertauschen wir beide Faktoren).

Überlege, dass für alle ganzen Zahlen $i$ mit $0 \le i \le \frac{n}{2}$ die ganze Zahl $g(i)$ ein Teiler von $f(i)$ ist. Folgere daraus, dass nur endlich viele ganzzahlige Polynome $g(X)$ mit (4.23) existieren können. Leite daraus ein Verfahren ab, um festzustellen, ob $f(X)$ über den ganzen Zahlen irreduzibel ist oder nicht.

Wie lässt sich dieses Verfahren auf alle primitiven Polynome vom Grade $n$ mit ganzzahligen Koeffizienten ausdehnen?

(Dieses Verfahren ist zuerst von Leopold Kronecker$^{7}$ angegeben worden, der als Erster auf die Notwendigkeit eines Verfahrens hinwies, die Irreduzibilität eines Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten festzustellen.)

Der Grad algebraischer Elemente

4.32

Sei $x$ eine algebraische Zahl. Zeige, dass $x$ genau dann Grad $1$ über den rationalen Zahlen besitzt, wenn $x$ rational ist.

4.33

Gib eine algebraische Zahl vom Grad $7$ über den rationalen Zahlen an.

4.34

Zeige, dass für jede positive natürliche Zahl $n$ eine algebraische Zahl vom Grad $n$ über den rationalen Zahlen existiert.

4.35

Seien $x$ und $y$ algebraische Zahlen, deren Grade über den rationalen Zahlen $n$ beziehungsweise $m$ seien. Zeige, dass die Grade von $x + y$ und $x y$ höchstens $n \cdot m$ sind.

4.36

Zeige, dass der goldene Schnitt

$$\begin{aligned} \upphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \end{aligned}$$

(4.24)

eine ganze algebraische Zahl ist, obwohl in der Darstellung (4.24) Nenner vorkommen, welche sich offensichtlich nicht wegkürzen lassen.

4.37

Gib eine algebraische Zahl an, welche keine ganze algebraische Zahl ist.

4.38

Seien $a$ und $d$ zwei ganze Zahlen. Sei $d$ positiv. Zeige, dass $a + \sqrt{d}$ eine ganze algebraische Zahl ist, und berechne ihren Grad in Abhängigkeit von $a$ und $d$.

4.39

Sei die algebraische Zahl $x = \sqrt{2} + \root 3 \of {2}$ gegeben. Gib eine natürliche Zahl $n$ und eine verschwindende nichttriviale Linearkombination von $1$, $x$, $x^2$, ..., $x^n$ mit rationalen Koeffizienten an.

4.40

Sei $z$ Lösung der Gleichung

$$\begin{aligned} X^n + a_{n - 1} X^{n - 1} + \dots + a_1 X + a_0 = 0, \end{aligned}$$

wobei die $a_0$, ..., $a_{n - 1}$ algebraische Zahlen sind. Gib eine obere Schranke für den Grad von $z$ in Termen von $n$ und den Graden von $a_0$, ..., $a_{n - 1}$ über den rationalen Zahlen an.

4.41

Sei $x$ eine Lösung der Gleichung

$$\begin{aligned} X^4 - 2 X^3 + 12 X - 10 = 0. \end{aligned}$$

Drücke $x^6$ durch eine Linearkombination von $1$, $x$, $x^2$ und $x^3$ mit rationalen Koeffizienten aus.

4.42

Sei $f(X) = X^n + a_{n - 1} X^{n - 1} + a_1 X + a_0$ das Minimalpolynom der algebraischen Zahl $x$ über den rationalen Zahlen. Multiplikation mit $x$ induziert eine lineare Abbildung

$$\begin{aligned} \phi :\mathbf {Q}(x) \rightarrow \mathbf {Q}(x),\quad y \mapsto x \cdot y. \end{aligned}$$

Gib die Darstellungsmatrix $A$ dieses Endomorphismus’ bezüglich der Basis $1$, $x$, $x^2$, ..., $x^{n - 1}$ von $\mathbf {Q}(x)$ über $\mathbf {Q}$ an. Zeige, dass $f(X)$ das Minimalpolynom von $A$ ist.

Der Satz vom primitiven Element

4.43

Gib zwei komplexe Zahlen an, welche über den reellen Zahlen linear unabhängig, über den komplexen Zahlen allerdings linear abhängig sind.

4.44

Sei $x$ eine in $\sqrt{3}$ rationale Zahl. Ist im Allgemeinen dann auch eine Quadratwurzel aus $x$ eine in $\sqrt{3}$ rationale Zahl?

4.45

Finde ein primitives Element zu $\mathrm {i}$ und $\root 3 \of {2}$.

4.46

Drücke $\sqrt{2}$ und $\sqrt{3}$ als Polynome in $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ mit rationalen Koeffizienten aus.

4.47

Zeige mit elementaren Methoden direkt über den Ansatz $\sqrt{2} = a + b \sqrt{3}$ mit rationalen Zahlen $a$ und $b$, dass $\sqrt{2}$ keine in $\sqrt{3}$ rationale Zahl ist.

4.48

Seien $x_1$, ..., $x_n$ algebraische Zahlen. Zeige, dass eine algebraische Zahl $z$ existiert, welche in $x_1$, ..., $x_n$ rational ist, und sodass jeweils $x_1$, ..., $x_n$ in $z$ rational ist, dass also

$$\begin{aligned} \mathbf {Q}(z) = \mathbf {Q}(x_1, \dotsc , x_n). \end{aligned}$$

4.49

Sei $f(X)$ ein Polynom mit rationalen Koeffizienten. Zeige, dass eine algebraische Zahl $y$ existiert, sodass $f(X)$ über $y$ vollständig in Linearfaktoren zerfällt.

4.50

Berechne jeweils den Grad von $\sqrt{2} + \mathrm {i}$ über den rationalen Zahlen, über $\sqrt{2}$ und über $\mathrm {i}$.

4.51

Gib ein Polynom mit rationalen Koeffizienten an, welches über den rationalen Zahlen irreduzibel ist, über $\sqrt{2}$ in zwei irreduzible Polynome und über $\sqrt{2} + \mathrm {i}$ in vier irreduzible Polynome zerfällt.

4.52

Sei $\zeta$ eine Lösung der Polynomgleichung $X^4 + X^3 + X^2 + X + 1 = 0$. Zeige, dass $\zeta$ eine in $\alpha \ {:=}\ \mathrm {e}^{\frac{\uppi \mathrm {i}}{5}}$ rationale Zahl ist, und gib eine Basis von $\mathbf {Q}(\alpha )$ über $\mathbf {Q}(\zeta )$ an.

Die Gradformel und die Unmöglichkeit der Würfelverdoppelung und der Winkeldreiteilung

4.53

Sei $x$ eine algebraische Zahl, sei $y$ eine algebraische Zahl, welche in $x$ rational ist, und sei $z$ eine algebraische Zahl, welche in $y$ rational ist. Wie lässt sich der Grad von $x$ über $z$ aus dem Grad von $x$ über $y$ und dem Grad von $y$ über $z$ berechnen?

4.54

Sei $x$ eine algebraische Zahl, sei $y$ eine algebraische Zahl, welche in $x$ rational ist, und sei $z$ eine algebraische Zahl, welche in $y$ rational ist. Zeige, dass der Grad von $y$ über $z$ ein Teiler des Grades von $x$ über $z$ ist.

4.55

Seien $x$, $y$ und $z$ drei algebraische Zahlen, sodass sowohl $x$ als auch $y$ in $z$ rational sind und sodass $y$ in $z$ rational ist. Zeige, dass

$$\begin{aligned}{}[\mathbf {Q}(z) : \mathbf {Q}(x)] \cdot [\mathbf {Q}(x) : \mathbf {Q}] = [\mathbf {Q}(z) : \mathbf {Q}(y)] \cdot [\mathbf {Q}(y) : \mathbf {Q}], \end{aligned}$$

und gib ein Diagramm zur Veranschaulichung an.

4.56

Sei $x$ eine algebraische Zahl. Sei $f(X)$ ein normiertes, nichtlineares Polynom mit rationalen Koeffizienten, welches irreduzibel über den rationalen Zahlen ist. Zeige unter der Annahme, dass der Grad von $f(X)$ teilerfremd zum Grad von $x$ über den rationalen Zahlen ist, dass keine in $x$ rationale Zahl Nullstelle von $f(X)$ ist.

4.57

Sei $x$ eine algebraische Zahl. Sei $y$ eine algebraische Zahl, welche in $x$ rational ist. Sei $f(X)$ ein normiertes, nichtlineares Polynom über $y$, welches über $y$ irreduzibel ist. Zeige unter der Annahme, dass der Grad von $f(X)$ teilerfremd zum Grad von $x$ über $y$ ist, dass keine in $x$ rationale Zahl Nullstelle von $f(X)$ ist.

4.58

Ist die folgende Aussage richtig oder falsch?

Seien $x$ und $y$ algebraische Zahlen, und sei $z$ ein primitives Element zu $x$ und $y$. Dann ist der Grad von $z$ über den rationalen Zahlen ein Teiler des Produktes der Grade von $x$ und $y$ über den rationalen Zahlen.

4.59

Zeige, dass das Problem der Winkelvierteilung mit Zirkel und Lineal lösbar ist.

4.60

Zeige, dass das Problem der Winkelfünfteilung mit Zirkel und Lineal nicht lösbar ist.

4.61

Zeige, dass die Konstruktion eines regelmäßigen Neunecks mit Zirkel und Lineal unmöglich ist.

4.62

Sei $\alpha$ ein Winkel, sodass $\cos \alpha$ eine konstruierbare Zahl ist. Zeige, dass $\alpha$ genau dann mit Zirkel und Lineal dreigeteilt werden kann, wenn das Polynom

$$\begin{aligned} f(X) = 4 X^3 - 3 X + \cos \alpha \end{aligned}$$

über $\cos \alpha$ nichtirreduzibel ist.

4.63

Zeige, dass eine algebraische Zahl $z$ genau dann konstruierbar ist, wenn eine Folge $1 = z_0$, $z_1$, ..., $z_{n - 1}$, $z_n = z$ algebraischer Zahlen existiert, sodass für alle $i \in \left\{ 1, \dots , n \right\}$ die Zahl $z_{i - 1}$ in $z_i$ rational ist und $z_i$ den Grad $2$ über $z_{i - 1}$ hat.

Anmerkungen

• 1. Dies ist, wie wir gesehen haben, konstruktiv möglich.

• 2. Ferdinand Gotthold Max Eisenstein, 1823–1852, deutscher Mathematiker.

• 3. Archimedes von Syrakus, ca. 287–212 v. Chr, griechischer Mathematiker, Physiker, Ingenieur, Erfinder und Astronom.

• 4. Isaac Newton, 1643–1727, englischer Physiker, Mathematiker, Astronom, Naturphilosoph und Theologe.

• 5. In der Sprache der abstrakten Linearen Algebra betrachten wir also $\mathbf {C}$ als $\mathbf {Q}$-Vektorraum. Die komplexen Zahlen sind in unserem Sinne genau dann linear abhängig über den rationalen Zahlen, wenn sie im Sinne der Linearen Algebra ein linear abhängiges System von Vektoren im $\mathbf {Q}$-Vektorraum $\mathbf {C}$ bilden.

• 6. Wir benötigen also die Separabilität des Minimalpolynoms einer der beiden Zahlen $x$ und $y$.

• 7. Leopold Kronecker, 1823–1891, deutscher Mathematiker.