Nichtlineare Dynamik

Zusammenfassung

In der nichtlinearen Dynamik werden dynamische Systeme untersucht, bei denen die auftretenden Bewegungsgleichungen nichtlineare Funktionen enthalten. Diese Systeme können sehr interessante Eigenschaften besitzen (z. B. chaotisches Verhalten) und zu besonderen geometrischen Strukturen (sog. Fraktale) führen. Damit ergeben sich natürlich auch interessante Implikationen für reelle Systeme wie z. B. der Schmetterlingseffekt. Wichtige Anwendungen der nichtlinearen Dynamik finden sich aber auch in der Biologie (Räuber-Beute-Modelle), der Medizin (Herzrhythmus) oder in den Wirtschaftswissenschaften (Börsenentwicklung). Dieses Kapitel beginnt mit den typischen geometrischen Strukturen und Modellsystemen (Feigenbaum-Diagramm, Mandelbrot-Menge). Danach wird das nichtlineare Pendel im Detail diskutiert. Am Ende des Kapitels folgt eine Übersicht über sog. seltsame Attraktoren.

Aufgaben

6.1 Julia-Mengen

Bei der Berechnung der Mandelbrot-Menge (s. Listing 14.2) wurde der Startwert der Iteration willkürlich auf $z=0$ gesetzt. Nun könnte man sich fragen, wie das Ergebnis von kleinen Änderungen des Startwertes abhängt. Die Startwerte, für die ein chaotisches Verhalten auftritt, werden Julia-Menge  genannt.

Verändern Sie das C-Programm in Listing 14.2, um für einen Wert c den Startwert $z_0 \in \mathbb {C}$ zu variieren. Eine Darstellung der Startwerte in der komplexen Ebene ergibt, je nach Parameter c, sehr schöne Julia-Mengen (s. Abb. 14.16). Verwenden Sie z. B. $c = -1{,}2$ oder $c = 0{,}4+0{,}4\text {i}$ oder $c=-0{,}8+0{,}2\text {i}$.

6.2 Duffing-Oszillator

Ein bekannter nichtlinearer Oszillator ist der sog. Duffing-Oszillator (Georg Duffing 1918), der eine Erweiterung des harmonischen Oszillators mit einer Rückstellkraft ${\sim }x^3$ ist:

$$\begin{aligned} \ddot{x}(t) + d\dot{x}(t) +\alpha x + \beta x^3 = A \cos (\omega _t t). \end{aligned}$$

(14.13)

Abb. 14.16

Julia-Menge für $c = -0{,}8 + 0{,}2\text {i}$

• a) Implementieren Sie die numerische Lösung des Duffing-Oszillators z. B. mit dem Verlet-Verfahren.

• b) Betrachten Sie zunächst den Fall ohne Antrieb ($A=0$) mit $\alpha < 0$ und $\beta > 0$ (Doppelmuldenpotenzial), und bestimmen Sie typische Bahnen.

• c) Zeigen Sie mit einem Phasendiagramm, in welchem der beiden Minima der Oszillator endet, abhängig von Startauslenkung und Startgeschwindigkeit.

• d) Untersuchen Sie jetzt den Duffing-Oszillator mit Anregung ($A>0$). Wie ändert sich das Phasendiagramm mit steigendem A?

• e) Untersuchen Sie für verschiedene Amplituden A, ob die Bahnen im Phasenraum chaotisch werden. Beispiel: $\alpha =-1$, $\beta =1$, $d = 0{,}2$, $A = 0{,}6$, $\omega =1$. Betrachten Sie dazu auch die Poincaré-Diagramme, indem sie die Werte nur zu periodischen Zeitpunkten ausgeben.

Abb. 14.17

Farbkodierte Endposition des Magnetpendels, abhängig von der Startposition (x, y)

6.3 Magnetpendel

Betrachten Sie eine Stahlkugel an einem Faden über drei Magneten. Zur Vereinfachung soll die Kugel sich nur in einer x-y-Ebene über den Magneten bewegen. Je nach Startposition landet die Kugel aufgrund der Reibung irgendwann auf einem der Magneten. Weist man jedem Magneten eine Farbe zu und kennzeichnet die Startposition mit der Farbe des Magneten, auf dem er landet, so erkennt man die chaotische Bewegung und die fraktale Struktur (s. Abb. 14.17).

• a) Stellen Sie die Bewegungsgleichung für die Stahlkugel auf. Die Kraft zu den Magneten kann mit

  $$\begin{aligned} \varvec{F}_\text {m} = \sum _{i=1}^3 \frac{\varvec{r}-\varvec{r}_i}{|\varvec{r}-\varvec{r}_i|^3} \end{aligned}$$

  (14.14)

  angesetzt werden. Die Reibungskraft ist $\varvec{F}_\text {r} = -\gamma \dot{\varvec{r}}$ und die Federkraft $\varvec{F}_\text {f} = -k \varvec{r}$.

• b) Legen Sie die Position der drei Magnete in der Ebene $x=[-1,1]$, $y=[-1,1]$ fest und implementieren Sie die Bewegungsgleichung mit einem geeigneten numerischen Verfahren (z. B. Leap-Frog, s. Abschn. 13.3.2) in einem C-Programm.

• c) Stellen Sie die Bewegung der Stahlkugel für benachbarte Startpunkte dar, um das chaotische Verhalten zu zeigen. Folgende Werte sind sinnvoll: Masse $m=1$, Dämpfungskonstante $\gamma = 0{,}2$, Federkonstante $k = 0{,}5$, Höhe des Pendels über den Magneten $z = 0{,}1$. Die Bewegung kann abgebrochen werden, wenn die Geschwindigkeit einen Minimalwert unterschreitet.

• d) Ändern Sie das Programm, sodass es für jeden Startpunkt in der x-y-Ebene die Nummer des Magneten ausgibt, auf dem die Stahlkugel landet. Eine Parallelisierung mit OpenMP ist aufgrund der längeren Rechenzeit zu empfehlen. Stellen Sie die Ergebnisse grafisch dar. Wenn Sie alles richtig gemacht haben, sollten Sie eine Grafik ähnlich zu Abb. 14.17 erhalten.

• e) Erweitern Sie das Programm für zwei und vier Magneten, und stellen Sie auch diese Ergebnisse grafisch dar.