Numerik von gewöhnlichen Differenzialgleichungen

Zusammenfassung

Gewöhnliche Differenzialgleichungen treten bei der Beschreibung von vielen physikalischen Problemen auf. Eine wichtige Anwendung sind z. B. Die vielfältigen Bewegungsgleichungen in der Mechanik. Aber auch Wachstums- und Zerfallsprozesse lassen sich mithilfe von gewöhnlichen Differenzialgleichungen beschreiben. Die Anwendungen sind daher nicht nur auf physikalische Probleme beschränkt, sondern können auch in der Chemie und Biologie genutzt werden. In diesem Kapitel werden die wichtigsten numerischen Verfahren zur Lösung von gewöhnlichen Differenzialgleichungen besprochen. Dazu gehört neben den Euler und Runge-Kutta-Verfahren auch Mehrschrittverfahren und spezielle Verfahren zur numerischen Lösung von Bewegungsgleichungen.

Aufgaben

10.1

Leiten Sie die Iterationsvorschrift (10.20) für GDGL der Form

$$\begin{aligned} f''(x) = F(f(x), x) \end{aligned}$$

(10.26)

her. Ersetzen Sie dafür die zweite Ableitung durch die zentrale Differenz (9.6). Woran erkennt man, dass es sich um ein Mehrschrittverfahren handelt?

10.2

Die Idee der Adams-Bashforth-Methoden ist es, anstatt der GDGL

$$\begin{aligned} f'(x)=F(f(x), x) \end{aligned}$$

(10.27)

die vereinfachte GDGL

$$\begin{aligned} f'(x)=p(x) \end{aligned}$$

(10.28)

durch Integration zu lösen. p(x) ist dabei das interpolierende Polynom für F(f(x), x).

Finden Sie das lineare interpolierende Polynom (9.13) durch die Punkte $F(f_{n-1}, x_{n-1})$ und $F(f_n, x_n)$ und damit durch Integration von (10.28) die 2-Punkt-Adams-Bashforth-Methode (10.18).