Quanten

Zusammenfassung

Das vierte Kapitel beschäftigt sich mit Quanten. Es wird erarbeitet, dass die Quantisierung physikalischer Größen und die de-Broglie-Hypothese akzeptiert wurden, weil damit der Compton-Effekt, das Planck’sche Strahlungsgesetz und der äußere fotoelektrische Effekt erfolgreich erklärt werden konnten. Als zentrale Inhalte der Quantenmechanik werden die Schrödinger-Gleichung, die Born’sche Wahrscheinlichkeitsinterpretation, das Ehrenfest’sche Theorem, die Unschärferelation und die Quantenverschränkung thematisiert. Die Lösung der Schrödinger-Gleichung für den harmonischen Oszillator erfolgt sowohl durch eine analytische als auch eine algebraische Betrachtungsweise. Bei der Modellierung des Wasserstoffatoms wird die Schrödinger’sche Quantenmechanik um die Spinquantenzahl erweitert, um zum Orbitalmodell zu gelangen und das Periodensystem der Elemente erklären zu können.

Appendices

Anhang 4.1 Normierung einer Gauß-Funktion und einer Wellenfunktion

Normierung einer Gauß-Funktion

Wir betrachten die Gauß-Funktion mit der Gleichung $a\left( k \right) = \left| {a\left( k \right)} \right| \cdot {\text{e}}^{{{\text{i}}\, \cdot \,\varphi \left( k \right)}} = \sqrt[4]{{\frac{{b^{2} }}{\uppi}}} \cdot {\text{e}}^{{ - \,\frac{1}{2}\, \cdot \,b^{2} \, \cdot \,\left( {k - K} \right)^{2} }} \cdot {\text{e}}^{{{\text{i}}\, \cdot \,\varphi \left( k \right)}}$.

Um die Beziehung $\int\limits_{ - \,\infty }^{\infty } {a^{ * } \left( k \right) \cdot a\left( k \right) \cdot {\text{d}}k} = \int\limits_{ - \,\infty }^{\infty } {\left| {a\left( k \right)} \right|^{2} \cdot {\text{d}}k} = 1$ nachzuweisen, setzen wir die Gauß-Funktion in das Integral ein:

$$ I1 = \int\limits_{ - \,\infty }^{\infty } {a^{ * } \left( k \right) \cdot a\left( k \right) \cdot {\text{d}}k} = \int\limits_{ - \,\infty }^{\infty } {\left| {a\left( k \right)} \right|^{2} \cdot {\text{d}}k} = \sqrt {\frac{{b^{2} }}{\uppi}} \cdot \int\limits_{ - \,\infty }^{\infty } {{\text{e}}^{{ - \,b^{2} \, \cdot \,\left( {k - K} \right)^{2} }} \cdot {\text{d}}k} . $$

Mit der Substitution $b \cdot \left( {k - K} \right) = z$, d. h. $\frac{{{\text{d}}z}}{{{\text{d}}k}} = b$ bzw. ${\text{d}}k = \frac{1}{b} \cdot {\text{d}}z$, erhalten wir ein Integral, dessen Wert wir einer Formelsammlung entnehmen können:

$$ I1 = \sqrt {\frac{{b^{2} }}{\uppi}} \cdot \frac{1}{b} \cdot \int\limits_{ - \,\infty }^{\infty } {{\text{e}}^{{ - \,z^{2} }} \cdot {\text{d}}z} = \sqrt {\frac{1}{\uppi}} \cdot \int\limits_{ - \,\infty }^{\infty } {{\text{e}}^{{ - \,z^{2} }} \cdot {\text{d}}z} = \sqrt {\frac{1}{\uppi}} \cdot \sqrt\uppi = 1. $$

Normierung einer Wellenfunktion

Für den Nachweis von $\int\limits_{ - \,\infty }^{\infty } {\psi^{ * } \left( {x{,}\,t} \right) \cdot \psi \left( {x{,}\,t} \right) \cdot {\text{d}}x} = \int\limits_{ - \,\infty }^{\infty } {\left| {\psi \left( {x{,}\,t} \right)} \right|^{2} \cdot {\text{d}}x} = 1$ setzen wir (4.35) in das Integral ein, d. h. $\psi \left( {x{,}\,t} \right) = \frac{1}{{\sqrt {2 \cdot\uppi} }} \cdot \int\limits_{ - \,\infty }^{\infty } {a\left( k \right) \cdot {\text{e}}^{{{\text{i}}\, \cdot \,\left( {k\, \cdot \,x\, - \,\omega \left( k \right)\, \cdot \,t} \right)}} \cdot {\text{d}}k}$. Wegen der „Gutartigkeit“ der vorkommenden Funktionen dürfen wir die Reihenfolge der Integrationen verändern. Zur Unterscheidung der für die Berechnung von $\psi^{ * }$ und $\psi$ erforderlichen Integrationen verwenden wir die Integrationsvariablen k bzw. $k^{\prime}$. Dabei hat der Bezeichner $k^{\prime}$ nicht die Bedeutung einer Ableitung:

$$ I2 = \int\limits_{ - \,\infty }^{\infty } {\psi^{ * } \left( {x{,}\,t} \right) \cdot \psi \left( {x{,}\,t} \right) \cdot {\text{d}}x} , $$

$$ I2 = \frac{1}{{2 \cdot\uppi}} \cdot \int\limits_{ - \infty }^{\infty } {\int\limits_{ - \infty }^{\infty } {\int\limits_{ - \infty }^{\infty } {a^{ * } \left( k \right) \cdot {\text{e}}^{{ - \,{\text{i}}\, \cdot \,\left( {k\, \cdot \,x\, - \,\omega \left( k \right)\, \cdot \,t} \right)}} \cdot {\text{d}}k \cdot a\left( {k^{\prime}} \right) \cdot {\text{e}}^{{{\text{i}}\, \cdot \,\left( {k^{\prime}\, \cdot \,x\, - \,\omega \left( {k^{\prime}} \right)\, \cdot \,t} \right)}} \cdot {\text{d}}k^{\prime} \cdot {\text{d}}x} } } , $$

$$ I2 = \int\limits_{ - \infty }^{\infty } {\int\limits_{ - \infty }^{\infty } {\int\limits_{ - \infty }^{\infty } {\frac{1}{{2 \cdot\uppi}} \cdot } \,{\text{e}}^{{{\text{i}}\, \cdot \,\left( {k^{\prime} - \,k} \right)\, \cdot \,x}} \cdot {\text{d}}x \cdot a^{ * } \left( k \right) \cdot a\left( {k^{\prime}} \right) \cdot {\text{e}}^{{{\text{i}}\, \cdot \,\left( {\,\omega \left( k \right)\, - \,\omega \left( {k^{\prime}} \right)} \right)\, \cdot \,t}} \cdot {\text{d}}k \cdot {\text{d}}k^{\prime}} } . $$

Mit (5.134), d. h. $\int\limits_{ - \infty }^{\infty } {\frac{1}{{2 \cdot\uppi}} \cdot } \,{\text{e}}^{{{\text{i}}\, \cdot \,\left( {k^{\prime} - k} \right)\, \cdot \,x}} \cdot {\text{d}}x = \delta \left( {k^{\prime} - k} \right)$, können wir die Berechnung von $I2$ auf $I1$ zurückführen:

$$ I2 = \int\limits_{ - \infty }^{\infty } {\int\limits_{ - \infty }^{\infty } {\delta \left( {k^{\prime} - k} \right) \cdot a^{ * } \left( k \right) \cdot a\left( {k^{\prime}} \right) \cdot {\text{e}}^{{{\text{i}}\, \cdot \,\left( {\,\omega \left( k \right)\, - \,\omega \left( {k^{\prime}} \right)} \right)\, \cdot \,t}} \cdot {\text{d}}k \cdot {\text{d}}k^{\prime}} } , $$

$$ I2 = \int\limits_{ - \infty }^{\infty } {a^{ * } \left( k \right) \cdot a\left( k \right) \cdot {\text{e}}^{{{\text{i}}\, \cdot \,\left( {\,\omega \left( k \right)\, - \,\omega \left( k \right)} \right)\, \cdot \,t}} \cdot {\text{d}}k} = \int\limits_{ - \infty }^{\infty } {a^{ * } \left( k \right) \cdot a\left( k \right) \cdot 1 \cdot {\text{d}}k} = I1 = 1. $$

Analog zeigen wir für $\int\limits_{ - \,\infty }^{\infty } {\phi^{ * } \left( p \right) \cdot \phi \left( p \right) \cdot {\text{d}}p} = \int\limits_{ - \,\infty }^{\infty } {\left| {\phi \left( p \right)} \right|^{2} \cdot {\text{d}}p} = 1$ die Normierung der Wellenfunktion $\psi \left( {x{,}\,t} \right) = \frac{1}{{\sqrt {2 \cdot\uppi \cdot \hbar } }} \cdot \int\limits_{ - \,\infty }^{\infty } {\phi \left( p \right) \cdot {\text{e}}^{{{\text{i}}\, \cdot \,\left( {p\, \cdot \,x\, - \,E\left( p \right)\, \cdot \,t} \right)/\hbar }} \cdot {\text{d}}p}$:

$$ I3 = \int\limits_{ - \,\infty }^{\infty } {\psi^{ * } \left( {x{,}\,t} \right) \cdot \psi \left( {x{,}\,t} \right) \cdot {\text{d}}x} , $$

$$ I3 = \frac{1}{{2 \cdot\uppi \cdot \hbar }} \cdot \int\limits_{ - \infty }^{\infty } {\int\limits_{ - \infty }^{\infty } {\int\limits_{ - \infty }^{\infty } {\phi^{ * } \left( p \right) \cdot {\text{e}}^{{ - \,{\text{i}}\, \cdot \,\left( {p\, \cdot \,x\, - \,E\left( p \right)\, \cdot \,t} \right)/\hbar }} \cdot {\text{d}}p \cdot \phi \left( {p^{\prime}} \right) \cdot {\text{e}}^{{{\text{i}}\, \cdot \,\left( {p^{\prime}\, \cdot \,x\, - \,E\left( {p^{\prime}} \right)\, \cdot \,t} \right)/\hbar }} \cdot {\text{d}}p^{\prime} \cdot {\text{d}}x} } } , $$

$$ I3 = \int\limits_{ - \infty }^{\infty } {\int\limits_{ - \infty }^{\infty } {\int\limits_{ - \infty }^{\infty } {\frac{1}{{2 \cdot\uppi \cdot \hbar }} \cdot {\text{e}}^{{{\text{i}}\, \cdot \,\left( {p^{\prime} - p} \right)\, \cdot \,x/\hbar }} \cdot {\text{d}}x \cdot \phi^{ * } \left( p \right) \cdot \phi \left( {p^{\prime}} \right) \cdot {\text{e}}^{{{\text{i}}\, \cdot \,\left( {E\left( p \right)\, - \,E\left( {p^{\prime}} \right)\,} \right)\, \cdot \,t/\hbar }} \cdot {\text{d}}p \cdot {\text{d}}p^{\prime}} } } . $$

Das Integral $\int\limits_{ - \infty }^{\infty } {\frac{1}{{2 \cdot\uppi \cdot \hbar }} \cdot {\text{e}}^{{{\text{i}}\, \cdot \,\left( {p^{\prime} - p} \right)\, \cdot \,x/\hbar }} \cdot {\text{d}}x}$ geht nach der Substitution $\frac{x}{\hbar } = z$, d. h. $\frac{{{\text{d}}z}}{{{\text{d}}x}} = \frac{1}{\hbar }$ bzw. ${\text{d}}x = \hbar \cdot {\text{d}}z$, über in die Delta-Distribution $\int\limits_{ - \infty }^{\infty } {\frac{1}{{2 \cdot\uppi \cdot \hbar }} \cdot {\text{e}}^{{{\text{i}}\, \cdot \,\left( {p^{\prime} - p} \right)\, \cdot \,x/\hbar }} \cdot {\text{d}}x} = \int\limits_{ - \infty }^{\infty } {\frac{1}{{2 \cdot\uppi}} \cdot {\text{e}}^{{{\text{i}}\, \cdot \,\left( {p^{\prime} - p} \right)\, \cdot \,z}} \cdot {\text{d}}z = \delta \left( {p^{\prime} - p} \right)}$. Damit erhalten wir

$$ I3 = \int\limits_{ - \infty }^{\infty } {\int\limits_{ - \infty }^{\infty } {\delta \left( {p^{\prime} - p} \right)} } \cdot \phi^{ * } \left( p \right) \cdot \phi \left( {p^{\prime}} \right) \cdot {\text{e}}^{{{\text{i}}\, \cdot \,\left( {E\left( p \right)\, - \,E\left( {p^{\prime}} \right)\,} \right)\, \cdot \,t/\hbar }} \cdot {\text{d}}p \cdot {\text{d}}p^{\prime}, $$

$$ I3 = \int\limits_{ - \infty }^{\infty } {\phi^{ * } \left( p \right) \cdot \phi \left( p \right) \cdot {\text{e}}^{{{\text{i}}\, \cdot \,\left( {E\left( p \right)\, - \,E\left( p \right)\,} \right)\, \cdot \,t/\hbar }} \cdot {\text{d}}p} = \int\limits_{ - \infty }^{\infty } {\phi^{ * } \left( p \right) \cdot \phi \left( p \right) \cdot 1 \cdot {\text{d}}p} = 1. $$

Anhang 4.2 Herleitung der Schrödinger-Gleichung in Impulsdarstellung

Wir verwenden für die Beschreibung der Bewegung eines Quantenobjekts in x-Richtung die Schrödinger-Gleichung in Ortsdarstellung (4.48), formen formal um und integrieren über x:

$$ {\text{i}} \cdot \hbar \cdot \frac{\partial }{\partial t}\psi \left( {x{,}\,t} \right) = \left( { - \frac{{\hbar^{2} }}{2 \cdot m}\Delta + V\left( {x{,}\,t} \right)} \right)\,\psi \left( {x{,}\,t} \right)\quad \quad \left| {\, \cdot \frac{{{\text{e}}^{{ - \,{\text{i}}\, \cdot \,p\, \cdot \,x/\hbar }} }}{{\sqrt {2 \cdot\uppi \cdot \hbar } }}} \right.\quad \left| {\,\int\limits_{ - \infty }^{\infty } {{\text{d}}x} } \right., $$

$$ {\text{i}} \cdot \hbar \cdot \int\limits_{ - \infty }^{\infty } {\frac{1}{{\sqrt {2 \cdot\uppi \cdot \hbar } }} \cdot \frac{{\partial \psi \left( {x{,}\,t} \right)}}{\partial t} \cdot {\text{e}}^{{ - \,{\text{i}}\, \cdot \,p\, \cdot \,x/\hbar }} \cdot {\text{d}}x} = $$

$$ - \frac{{\hbar^{2} }}{2 \cdot m} \cdot \frac{1}{{\sqrt {2 \cdot\uppi \cdot \hbar } }} \cdot \int\limits_{ - \infty }^{\infty } {\frac{{\partial^{2} \psi \left( {x{,}\,t} \right)}}{{\partial x^{2} }} \cdot {\text{e}}^{{ - \,{\text{i}}\, \cdot \,p\, \cdot \,x/\hbar }} \cdot {\text{d}}x} + \frac{1}{{\sqrt {2 \cdot\uppi \cdot \hbar } }} \cdot \int\limits_{ - \infty }^{\infty } {V\left( {x{,}\,t} \right) \cdot \psi \left( {x{,}\,t} \right) \cdot {\text{e}}^{{ - \,{\text{i}}\, \cdot \,p\, \cdot \,x/\hbar }} \cdot {\text{d}}x} . $$

(4.193)

Das Integral auf der linken Seite kann nach (4.40) mit der Ableitung der Funktion $\phi \left( {p{,}\,t} \right)$ nach der Zeit dargestellt werden:

$$ I1 = {\text{i}} \cdot \hbar \cdot \int\limits_{ - \infty }^{\infty } {\frac{1}{{\sqrt {2 \cdot\uppi \cdot \hbar } }} \cdot \frac{{\partial \psi \left( {x{,}\,t} \right)}}{\partial t} \cdot {\text{e}}^{{ - \,{\text{i}}\, \cdot \,p\, \cdot \,x/\hbar }} \cdot {\text{d}}x} = {\text{i}} \cdot \hbar \cdot \frac{{\partial \phi \left( {p{,}\,t} \right)}}{\partial t} = {\text{i}} \cdot \hbar \cdot \dot{\phi }\left( {p{,}\,t} \right). $$

Das erste Integral auf der rechten Seite in (4.193) formen wir durch zweimalige partielle Integration um. Dabei berücksichtigen wir, dass die Wellenfunktion und ihre Ableitungen für $x \to \pm \infty$ „genügend schnell“ verschwinden, sodass der ausintegrierte Summand an diesen Grenzen jeweils null ergibt:

$$ I2 = - \frac{{\hbar^{2} }}{2 \cdot m} \cdot \frac{1}{{\sqrt {2 \cdot\uppi \cdot \hbar } }} \cdot \int\limits_{ - \infty }^{\infty } {\frac{{\partial^{2} \psi \left( {x{,}\,t} \right)}}{{\partial x^{2} }} \cdot {\text{e}}^{{ - \,{\text{i}}\, \cdot \,p\, \cdot \,x/\hbar }} \cdot {\text{d}}x} , $$

$$ I2 = - \frac{{\hbar^{2} }}{2 \cdot m} \cdot \frac{1}{{\sqrt {2 \cdot\uppi \cdot \hbar } }} \cdot \left( {\left. {\frac{{\partial \psi \left( {x{,}\,t} \right)}}{\partial x} \cdot {\text{e}}^{{ - \,{\text{i}}\, \cdot \,p\, \cdot \,x/\hbar }} } \right|_{ - \infty }^{\infty } - \int\limits_{ - \infty }^{\infty } {\frac{{\partial \psi \left( {x{,}\,t} \right)}}{\partial x} \cdot \left( {\frac{{ - \,{\text{i}} \cdot p}}{\hbar }} \right) \cdot {\text{e}}^{{ - \,{\text{i}}\, \cdot \,p\, \cdot \,x/\hbar }} \cdot {\text{d}}x} } \right), $$

$$ I2 = - \frac{{\hbar^{2} }}{2 \cdot m} \cdot \frac{1}{{\sqrt {2 \cdot\uppi \cdot \hbar } }} \cdot \frac{{{\text{i}} \cdot p}}{\hbar } \cdot \int\limits_{ - \infty }^{\infty } {\frac{{\partial \psi \left( {x{,}\,t} \right)}}{\partial x} \cdot {\text{e}}^{{ - \,{\text{i}}\, \cdot \,p\, \cdot \,x/\hbar }} \cdot {\text{d}}x} , $$

$$ I2 = - \frac{{\hbar^{2} }}{2 \cdot m} \cdot \frac{1}{{\sqrt {2 \cdot\uppi \cdot \hbar } }} \cdot \frac{{{\text{i}} \cdot p}}{\hbar } \cdot \left( {\left. {\psi \left( {x{,}\,t} \right) \cdot {\text{e}}^{{ - \,{\text{i}}\, \cdot \,p\, \cdot \,x/\hbar }} } \right|_{ - \infty }^{\infty } - \int\limits_{ - \infty }^{\infty } {\psi \left( {x{,}\,t} \right) \cdot \left( { - \frac{{{\text{i}} \cdot p}}{\hbar }} \right) \cdot {\text{e}}^{{ - \,{\text{i}}\, \cdot \,p\, \cdot \,x/\hbar }} \cdot {\text{d}}x} } \right), $$

$$ I2 = \frac{{\hbar^{2} }}{2 \cdot m} \cdot \frac{1}{{\sqrt {2 \cdot\uppi \cdot \hbar } }} \cdot \frac{{p^{2} }}{{\hbar^{2} }} \cdot \int\limits_{ - \infty }^{\infty } {\psi \left( {x{,}\,t} \right) \cdot {\text{e}}^{{ - \,{\text{i}}\, \cdot \,p\, \cdot \,x/\hbar }} \cdot {\text{d}}x} , $$

$$ I2 = \frac{{p^{2} }}{2 \cdot m} \cdot \phi \left( {p{,}\,t} \right). $$

Im letzten Schritt wurde (4.40) verwendet.

Im zweiten Integral auf der rechten Seite in (4.193) nehmen wir für $V\left( {x{,}\,t} \right)$ eine Entwicklung in eine Potenzreihe vor, indem wir $V\left( {x{,}\,t} \right) = \sum\limits_{n = 0}^{\infty } {V_{n} \left( t \right) \cdot x^{n} }$ verwenden:

$$ I3 = \frac{1}{{\sqrt {2 \cdot\uppi \cdot \hbar } }} \cdot \int\limits_{ - \infty }^{\infty } {\sum\limits_{n = 0}^{\infty } {\left( {V_{n} \left( t \right) \cdot x^{n} } \right)} \cdot \psi \left( {x{,}\,t} \right) \cdot {\text{e}}^{{ - \,{\text{i}}\, \cdot \,p\, \cdot \,x/\hbar }} \cdot {\text{d}}x} , $$

$$ I3 = \frac{1}{{\sqrt {2 \cdot\uppi \cdot \hbar } }} \cdot \sum\limits_{n = 0}^{\infty } {V_{n} \left( t \right)} \cdot \int\limits_{ - \infty }^{\infty } {x^{n} \cdot \psi \left( {x{,}\,t} \right) \cdot {\text{e}}^{{ - \,{\text{i}}\, \cdot \,p\, \cdot \,x/\hbar }} \cdot {\text{d}}x} . $$

Durch einen Trick können wir das Integral umformen. Dazu betrachten wir folgende Nebenrechnung:

$$ \frac{\partial }{\partial p}{\text{e}}^{{ - \,{\text{i}}\, \cdot \,p\, \cdot \,x/\hbar }} = \left( { - \frac{\text{i}}{\hbar }} \right) \cdot x \cdot {\text{e}}^{{ - \,{\text{i}}\, \cdot \,p\, \cdot \,x/\hbar }} , $$

$$ \frac{{\partial^{n} }}{{\partial p^{n} }}{\text{e}}^{{ - \,{\text{i}}\, \cdot \,p\, \cdot \,x/\hbar }} = \left( { - \frac{\text{i}}{\hbar }} \right)^{n} \cdot x^{n} \cdot {\text{e}}^{{ - \,{\text{i}}\, \cdot \,p\, \cdot \,x/\hbar }} , $$

$$ x^{n} \cdot {\text{e}}^{{ - \,{\text{i}}\, \cdot \,p\, \cdot \,x/\hbar }} = \left( { - \frac{\hbar }{\text{i}}} \right)^{n} \cdot \frac{{\partial^{n} }}{{\partial p^{n} }}{\text{e}}^{{ - \,{\text{i}}\, \cdot \,p\, \cdot \,x/\hbar }} = \left( { - \frac{\hbar }{\text{i}}\frac{\partial }{\partial p}} \right)^{n} \cdot {\text{e}}^{{ - \,{\text{i}}\, \cdot \,p\, \cdot \,x/\hbar }}. $$

Wir verwenden das Ergebnis der Nebenrechnung und (4.40) für die Berechnung von I3:

$$ I3 = \frac{1}{{\sqrt {2 \cdot\uppi \cdot \hbar } }} \cdot \sum\limits_{n = 0}^{\infty } {V_{n} \left( t \right) \cdot } \left( { - \frac{\hbar }{\text{i}}\frac{\partial }{\partial p}} \right)^{n} \cdot \int\limits_{ - \infty }^{\infty } {\psi \left( {x{,}\,t} \right) \cdot {\text{e}}^{{ - \,{\text{i}}\, \cdot \,p\, \cdot \,x/\hbar }} \cdot {\text{d}}x} , $$

$$ I3 = \sum\limits_{n = 0}^{\infty } {V_{n} \left( t \right) \cdot } \left( { - \frac{\hbar }{\text{i}}\frac{\partial }{\partial p}} \right)^{n} \cdot \phi \left( {p{,}\,t} \right) = :V\left( { - \frac{\hbar }{\text{i}}\frac{\partial }{\partial p}{,}\,t} \right) \cdot \phi \left( {p{,}\,t} \right). $$

Durch Einsetzen der Ergebnisse in (4.193) ergibt sich:

$$ {\text{i}} \cdot \hbar \cdot \dot{\phi }\left( {p{,}\,t} \right) = \frac{{p^{2} }}{2 \cdot m} \cdot \phi \left( {p{,}\,t} \right) + V\left( { - \frac{\hbar }{\text{i}}\frac{\partial }{\partial p}{,}\,t} \right) \cdot \phi \left( {p{,}\,t} \right), $$

$$ {\text{i}} \cdot \hbar \cdot \dot{\phi }\left( {p{,}\,t} \right) = \left( {\frac{{p^{2} }}{2 \cdot m} + V\left( { - \frac{\hbar }{\text{i}}\frac{\partial }{\partial p}{,}\,t} \right)} \right) \cdot \phi \left( {p{,}\,t} \right) = \hat{H}\,\phi \left( {p{,}\,t} \right). $$

Wir haben die Schrödinger-Gleichung in Impulsdarstellung erhalten, die durch Verallgemeinerung auf eine Bewegung in $\overrightarrow {p}$-Richtung in (4.50) übergeht.

Anhang 4.3 Abschätzung einer Taylorreihe

Wir schätzen in diesem Anhang die Taylorreihe (4.159) für sehr große Summationsindizes j ab:

$$ h\left( \xi \right) = a_{0} + a_{1} \cdot \xi + a_{2} \cdot \xi^{2} + a_{3} \cdot \xi^{3} + a_{4} \cdot \xi^{4} + \ldots = \sum\limits_{j = 0}^{\infty } {a_{j} \cdot \xi^{j} } . $$

Zunächst betrachten wir die Rekursionsformel (4.161) der Koeffizienten für sehr große Summationsindizes j:

$$ a_{j + 2} = \frac{{2 \cdot j + 1 - \mathcal{E}}}{{\left( {j + 2} \right) \cdot \left( {j + 1} \right)}} \cdot a_{j} = \frac{{2 \cdot j + 1 - \mathcal{E}}}{{j^{2} + 3 \cdot j + 2}} \cdot a_{j} , $$

$$ a_{j + 2} = \frac{{2 + {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 j}} \right. \kern-0pt} j} - {\mathcal{E} \mathord{\left/ {\vphantom {\mathcal{E} j}} \right. \kern-0pt} j}}}{{j + 3 + {2 \mathord{\left/ {\vphantom {2 j}} \right. \kern-0pt} j}}} \cdot a_{j} \to \frac{2}{j + 3} \cdot a_{j} \to \frac{2}{j} \cdot a_{j} . $$

(4.194)

$$ {\textbf{Behauptung:}}{\text{ F}}{\mathop {\text{u}}\limits^{{..}}}{\text{r}}\,a_{j} \,\,{\text{gilt die N}}{\mathop {\text{a}}\limits^{{..}}}{\text{herungsl}}{\mathop {\text{o}}\limits^{{..}}}{\text{sung}}\,a_{j} \approx \frac{C}{{\left( {\frac{j}{2}} \right)!}}. $$

(4.195)

In der letztgenannten Gleichung stellt C eine Konstante dar und bei $\left( {\frac{j}{2}} \right)!$ handelt es sich um eine Verallgemeinerung der Beziehung (5.19) für die Fakultät , die auf die Gamma-Funktion führt (es scheint typisch zu sein, dass bei der Bearbeitung einer Aufgabe ein neues Problem auftaucht). Die Gamma-Funktion bettet sich in ein umfangreiches Spezialgebiet der Analysis ein, das an Hochschulen meist nur in Vertiefungskursen thematisiert wird. Wir kommen mit folgenden Beziehungen aus dieser Thematik aus:

$$ x! = \Gamma \left( {x + 1} \right)\,\text{und}\,\Gamma \left( 1 \right) = 1\,\text{mit}\,x \in {\mathbb{C}}\backslash \left\{ {0,\; - 1,\; - 2,\; \ldots } \right\}, $$

(4.196)

$$ \Gamma \left( {\frac{1}{2} + n} \right) = \frac{{\sqrt\uppi }}{{4^{n} }} \cdot \frac{{\left( {2 \cdot n} \right)!}}{n!}\,\,{\text{mit}}\,\,n \in {\mathbf{\mathbb{N}}}. $$

(4.197)

Damit gelten z. B.:

$$ \left( {\frac{1}{2}} \right)! = \Gamma \left( {\frac{1}{2} + 1} \right) = \frac{{\sqrt\uppi }}{{4^{1} }} \cdot \frac{{\left( {2 \cdot 1} \right)!}}{1!} = \frac{{\sqrt\uppi }}{2}, $$

$$ \left( {\frac{3}{2}} \right)! = \Gamma \left( {\frac{3}{2} + 1} \right) = \Gamma \left( {\frac{1}{2} + 2} \right) = \frac{{\sqrt\uppi }}{{4^{2} }} \cdot \frac{{\left( {2 \cdot 2} \right)!}}{2!} = \frac{{3 \cdot \sqrt\uppi }}{4}, $$

$$ \left( {\frac{5}{2}} \right)! = \Gamma \left( {\frac{5}{2} + 1} \right) = \Gamma \left( {\frac{1}{2} + 3} \right) = \frac{{\sqrt\uppi }}{{4^{3} }} \cdot \frac{{\left( {2 \cdot 3} \right)!}}{3!} = \frac{{15 \cdot \sqrt\uppi }}{8}. $$

Begründung der Behauptung: Wir überzeugen uns, dass sich aus (4.195) die Beziehung (4.194) ergibt:

$$ a_{j + 2} \approx \frac{C}{{\left( {\frac{j + 2}{2}} \right)!}} = \frac{C}{{\left( {\frac{j}{2} + 1} \right)!}} = \frac{C}{{\left( {\frac{j}{2}} \right)!\,\, \cdot \left( {\frac{j}{2} + 1} \right)}} = a_{j} \cdot \frac{1}{{\left( {\frac{j}{2} + 1} \right)}} \approx a_{j} \cdot \frac{1}{{\frac{j}{2}}} = \frac{2}{j} \cdot a_{j} . $$

Mit (4.195) erhalten wir für die Funktion $h\left( \xi \right)$:

$$ h\left( \xi \right) = \sum\limits_{j = 0}^{\infty } {a_{j} \cdot \xi^{j} } = C \cdot \sum\limits_{j = 0}^{\infty } {\frac{{\xi^{j} }}{{\left( {\frac{j}{2}} \right)!}}} = C \cdot \left( {\frac{{\xi^{0} }}{0!} + \frac{{\xi^{1} }}{{\left( {\frac{1}{2}} \right)!}} + \frac{{\xi^{2} }}{1!} + \frac{{\xi^{3} }}{{\left( {\frac{3}{2}} \right)!}} + \frac{{\xi^{4} }}{2!} + \frac{{\xi^{5} }}{{\left( {\frac{5}{2}} \right)!}} + \frac{{\xi^{6} }}{3!} + \ldots } \right), $$

$$ h\left( \xi \right) > C \cdot \left( {1 + \frac{{\xi^{2} }}{1!} + \frac{{\xi^{4} }}{2!} + \frac{{\xi^{6} }}{3!} + \ldots } \right) = C \cdot \left( {1 + \frac{{\xi^{2} }}{1!} + \frac{{\left( {\xi^{2} } \right)^{2} }}{2!} + \frac{{\left( {\xi^{2} } \right)^{3} }}{3!} + \ldots } \right) = C \cdot {\text{e}}^{{\xi^{2} }} . $$

(4.198)

Im letzten Umformungsschritt wurde die Potenzreihe für ${\text{e}}^{z}$ mit $z = \xi^{2}$ verwendet. Mit (4.157) ergibt sich:

$$ \varphi \left( \xi \right) = h\left( \xi \right) \cdot {\text{e}}^{{ - \,\frac{{\xi^{2} }}{2}}} > C \cdot {\text{e}}^{{\xi^{2} }} \cdot {\text{e}}^{{ - \,\frac{{\xi^{2} }}{2}}} = C \cdot {\text{e}}^{{\frac{{\xi^{2} }}{2}}} . $$

Für $\xi \to \infty$ divergiert $\varphi \left( \xi \right)$. Wegen $\xi : = \sqrt {\frac{m \, \cdot \, \omega }{\hbar }} \cdot x$ divergieren bei diesem Grenzübergang auch x und $\varphi \left( x \right)$. Deshalb kann die Funktion $\varphi \left( x \right)$ nicht normiert werden.

Die Gamma-Funktion ist ein besonders „schillerndes“ mathematisches Objekt, für das eine Integral-, Grenzwert- und Funktionaldarstellung existiert und das Bezüge zur Beta-Funktion besitzt. Die Erkundung der Eigenschaften der Gamma-Funktion erfolgte insbesondere durch Daniel Bernoulli , Leonhard Euler und Carl Friedrich Gauß . An „mathematischer Feinkost“ interessierten Lesern empfehle ich eine Recherche zu den Stichworten „Gamma-Funktion“ und „Beta-Funktion“. Dabei wünsche ich viel Vergnügen bei der Beschäftigung mit beziehungsreicher Mathematik.