Physikalische Größen und Messungen

Zusammenfassung

Der Mensch war schon immer neugierig darauf, die ihn umgebende Welt zu ergründen, und sucht nach Wegen, die verwirrende Vielfalt von Ereignissen, die er beobachtet, zu ordnen, beispielsweise das Blau des Himmels, die Änderung des Klangs, wenn ein Auto vorüberfährt, das Wiegen der Bäume im Wind, den Sonnenauf- und -untergang oder den Flug eines Vogels. Bei der Suche nach Erkenntnis gibt es verschiedene Herangehensweisen: Eine davon ist die Religion, eine andere die Kunst und eine dritte die Wissenschaft. In der Wissenschaft unterscheidet man zwischen Naturwissenschaften wie der Physik und Geisteswissenschaften wie der Philosophie. Die Physik hat es sich zum Ziel gesetzt, die Grundgesetze des Universums und ihre Wirkungsweise zu beschreiben. Sie behandelt Kategorien wie Materie und Energie, Raum und Zeit.

Die Anzahl der Sandkörner an einem Strand kann man nicht abzählen. Mit geeigneten Annahmen und einfachen Berechnungen lässt sie sich aber schätzen. (Mit freundlicher Genehmigung von Anja Groth.)

? Wie viele Sandkörner liegen an Ihrem Lieblingsstrand? (Siehe Übung 1.1.)

Appendices

Im Kontext: Naturkonstanten und das Internationale Einheitensystem (SI)

Wer ans Messen denkt, denkt üblicherweise an die Experimentalphysik. Dabei hat auch die Theorie auf diesem Felde – für den, der um die Ecke denkt – einiges zu bieten. Eigentlich spielt das Messen in der Theoretischen Physik naturgemäß eine Nebenrolle. So können es sich die Theoretiker leisten, mit einem Einheitensystem zu arbeiten, das einzig den Zweck erfüllt, ihre Gleichungen möglichst schlank zu halten. Und dies gelingt, indem man den lästigen Naturkonstanten, die in den Gleichungen wie unliebsame und unerklärte Geister auftauchen, einfach den Zahlenwert 1 verpasst. Lichtgeschwindigkeit? Gleich 1. Planck’sches Wirkungsquantum? Gleich 1? Und so weiter. Die Gleichungen werden auf diese Weise tatsächlich kürzer und, so sagen die Theoretiker, schöner. Die verschwundenen Zahlenwerte der Naturkonstanten sind jetzt in die Einheiten „transformiert“ worden, sodass etwa der Meter oder das Kilogramm sehr anders daherkommen. Aber zum großen Glück schickt man keinen Theoretiker los, um mit „seinem Meter“ die Deckenhöhe im Wohnzimmer auszumessen. (Mit c gleich 1 und einer unverändert langen Sekunde ist der Theoretiker-Meter ja etwa 300 Millionen „Alt-Meter“ lang.)

Diese Theoretikergeschichte ist zum einen wahr, und zum anderen ist sie die Blaupause dafür, was gegenwärtig in der Welt des Messens, in der Metrologie, geschieht. Denn auch hier, wo es immer sehr praktisch und alltagstauglich zugeht, stehen Naturkonstanten im Fokus. Das große Programm lautet auch hier: Lasst uns Naturkonstanten nehmen, um zu sagen, was wir unter Kilogramm, Kelvin und Co. verstehen. Bisher ist dies nämlich längst nicht für alle Einheiten der Fall. So war bisher das Kilogramm immer noch so definiert wie am Ende des 19. Jahrhunderts, nämlich als die Masse eines bestimmten Metallzylinders in einem bestimmten Safe in einem Vorort von Paris. Und etwa das Kelvin leistet sich den sehr aufwendigen Rückgriff auf den Tripelpunkt einer bestimmten Isotopenmischung von Wasser (einer Mischung, mit der man diplomatisch korrekt die Isotopenverhältnisse in den irdischen Meeren abbildet). Von all dem und all den damit verbundenen Problemen möchten sich die Metrologen nun befreien.

Und so haben sich die Wissenschaftler, Ingenieure und Techniker in den nationalen Metrologieinstituten in den letzten Jahren und Jahrzehnten daran gemacht, gewisse Naturkonstanten noch einmal nach allen Regeln der Kunst so gut es irgend geht (d. h. mit möglichst kleiner Messunsicherheit) zu messen. Die entscheidenden Konstanten, um die es in den Laboren ging, waren das Planck’sche Wirkungsquantum h, die Boltzmann-Konstante k, die elektrische Elementarladung e und die Avogadro-Konstante $N_{\mathrm{A}}$. Diese Messungen geschahen freilich im bisherigen, vorgegebenen Einheitensystem. Nun jedoch wird der Spieß – die Theoretiker machten es vor – umgedreht. Man beginnt mit den Naturkonstanten. Diese werden mit den zuvor bestmöglich gemessenen Zahlenwerten belegt. Jetzt rechnet man sich anhand dieser festgelegten Werte die Einheiten neu aus. Wenn alles richtig gemacht wurde, ist dann das neue Kilogramm so schwer wie das alte und das neue Ampere ebenso groß wie das alte Ampere. Ist damit etwas gewonnen? Im Moment der Neudefinitionen noch nicht, denn der Übergang ist ja sehr absichtsvoll stetig, also ohne Sprünge. Aber die zukünftige Entwicklung ist entscheidend beeinflusst: Denn während etwa im bisherigen System das Kilogramm ein echter Wackelkandidat gewesen ist, ist das neue Kilogramm stabil für alle Zeiten, nämlich genauso unveränderlich, wie es die dahinter stehenden Naturkonstanten sind. Diese mögen vielleicht im kosmischen Maßstab zeitliche Variationen aufweisen (einige Theoretiker und Astronomen sagen dies voraus), aber alltagsrelevant werden diese Variationen sicher nicht sein.

Die Generalkonferenz für Maß und Gewicht, das höchste Gremium in der Welt der Metrologie, hat diese Neudefinitionen für das Internationale Einheitensystem (SI) im November 2018 so beschlossen. Die Mängel des bisherigen Systems werden damit überwunden. Zwar ist auch ein Preis für diesen Fortschritt zu bezahlen – anschaulich sind die Formulierungen des neuen SI nicht. Aber der Gegenwert ist klar: Da Naturkonstanten nicht nur auf unserer Erde gelten, sondern überall dort, wo unsere Physik gilt (also überall?), ist das so formulierte SI eine universelle Sprache geworden. Und, vielleicht noch wichtiger: Die Naturkonstanten bevorzugen, anders z. B. als das Urkilogramm oder der Tripelpunkt von Wasser, keine speziellen Punkte auf der jeweiligen Einheitenskala. Das SI ist damit offen für alle technologischen Innovationen, um die Einheiten zu realisieren.

Die Werte von sieben ausgewählten Konstanten wurden festgelegt. Diese Konstanten sind daher keine messbaren Größen mehr:

• Frequenz des Hyperfeinstrukturübergangs des Grundzustands im $\mathrm{{}^{133}Cs}$-Atom

  $\Updelta\nu=9\,192\,631\,770\,\mathrm{s}^{-1}$

• Lichtgeschwindigkeit im Vakuum

  $c=299\,792\,458\,\mathrm{m\,s}^{-1}$

• Planck’sches Wirkungsquantum

  $h=6{,}626\,070\,15\cdot 10^{-34}\,\mathrm{J\,s}$ ($\mathrm{J\,s}=\mathrm{kg\,m^{2}\,s^{-1}}$)

• Elementarladung

  $e=1{,}602\,176\,634\cdot 10^{-19}\,\mathrm{C}$ ($\mathrm{C}=\mathrm{A\,s}$)

• Boltzmann-Konstante

  $k=1{,}380\,649\cdot 10^{-23}\,\mathrm{J\,K^{-1}}$ ($\mathrm{J\,K}^{-1}=\mathrm{kg\,m}^{2}\,\mathrm{s}^{-2}\,\mathrm{K}^{-1}$)

• Avogadro-Konstante

  $N_{\mathrm{A}}=6{,}022\,140\,76\cdot 10^{23}\,\mathrm{mol}^{-1}$

• Photometrische Strahlungsäquivalent

  $K_{\mathrm{cd}}=682\,\mathrm{lm\,W}^{-1}$ (Lumen durch Watt)

  (bei einer monochromatischen Strahlung der Frequenz $540\cdot 10^{12}$ Hz)

Im Avogadro-Experiment wurden anhand nahezu perfekter Einkristallkugeln aus Silicium (hier in einem Kugelinterferometer) zwei Naturkonstanten bestimmt: die Avogadro-Konstante und das Planck’sche Wirkungsquantum. Nach der Festlegung der Konstanten sind derartige Si-Kugeln eine Möglichkeit, das Kilogramm zu realisieren. (©PTB)

• 1. „Experimente für das neue Internationale Einheitensystem (SI)“, PTB-Mitteilungen, 126. Jahrgang, Heft 2, Juni 2016, doi: 10.7795.310.20160299.

• 2. „Das neue Internationale Einheitensystem“, Informationsbroschüre der Physikalisch-Technischen Bundesanstalt (PTB), Braunschweig, 3. Aufl., November 2017, www.ptb.de.

• 3. „SI Brochure: The International System of Units (SI)“, 9. Aufl., Bureau International des Poids et Mesures (BIPM), https://www.bipm.org/en/publications/si-brochure/(Stand: Juni 2018).

Jens Simon hat in Braunschweig und Köln studiert. Nach Promotionen in Theoretischer Physik und in Germanistik hat er seit vielen Jahren die schöne Aufgabe, die Presse- und Öffentlichkeitsarbeit der Physikalisch-Technischen Bundesanstalt (PTB) zu leiten. Im Auftrag enthalten: Physik und Naturwissenschaft zu vermitteln. Dass alle Einheiten in Zukunft auch auf Alpha Centauri verstanden werden sollen, empfindet er zwar als schön, aber wie die Einheiten auch in den irdischen Klassenzimmern und Hörsälen verstanden werden können, ist leider noch ungeklärt.

Zusammenfassung

	Thema	Wichtige Gleichungen und Anmerkungen
1.	Maßeinheiten	Physikalische Größen sind Zahlen, die man durch Messungen an physikalischen Objekten erhält. Operationale Definitionen geben die Operationen an, die befolgt werden müssen, um die physikalischen Größen zu definieren. Der Wert jeder physikalischen Größe wird durch Maßzahl mal Maßeinheit ausgedrückt.
2.	Grundeinheiten	Die Grundeinheiten des SI-Systems sind das Meter (m), die Sekunde (s), das Kilogramm (kg), das Kelvin (K), das Ampere (A), das Mol (mol) und die Candela (cd). Die Einheiten aller physikalischen Größen können durch diese Grundgrößen ausgedrückt werden.
3.	Gleichungen
	Einheiten in Gleichungen	Einheiten in Gleichungen werden wie jede andere algebraische Größe behandelt.
	Dimensionen	Beide Seiten einer Gleichung müssen die gleiche Dimension besitzen.
4.	Signifikante Stellen
	Multiplikation und Division	Die Anzahl der signifikanten Stellen im Ergebnis einer Multiplikation oder Division ist nie größer als die kleinste Anzahl der signifikanten Stellen aller Faktoren.
	Addition und Subtraktion	Das Ergebnis einer Addition oder Subtraktion zweier Zahlen hat so viele Dezimalstellen wie der Term mit der kleinsten Anzahl signifikanter Dezimalstellen.
5.	Umrechnung	Umrechnungsfaktoren besitzen stets den Wert 1. Sie bieten eine einfache Möglichkeit, von einer Einheit in eine andere umzurechnen.
6.	Exponentialschreibweise	Zur Vereinfachung werden sehr kleine und sehr große Zahlen im Allgemeinen als Produkt einer Zahl und einer Zehnerpotenz geschrieben.
7.	Exponenten
	Multiplikation	Bei der Multiplikation zweier Zahlen werden die Exponenten addiert.
	Division	Bei der Division zweier Zahlen werden die Exponenten subtrahiert.
	Potenzierung	Wird eine Zahl, die einen Exponenten enthält, selbst potenziert, werden die Exponenten multipliziert.
8.	Größenordnungen	Eine Zahl, die auf die nächstgelegene Zehnerpotenz gerundet wurde, wird Größenordnung genannt. Die Größenordnung einer Größe lässt sich oft schon durch sinnvolle Annahmen und einfache Berechnungen ermitteln.
9.	Messfehler
	Gauß’sche Verteilungsfunktion	Die Gauß’sche Verteilungsfunktion von Messwerten $x$ um den wahren Wert $\left<x\right>$ lautet $f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\,\text{e}^{-(x-\left<x\right> )^{2}/(2\,\sigma^{2})}$.   (1.7)
	Statistische Größen	Der Schätzwert für den wahren Messwert bei $n$ Messungen einer Messgröße $x$, auch Mittelwert der Stichprobe vom Umfang $n$ genannt, ist $\left<x\right> =\frac{1}{n}\,\sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}$.   (1.13) Der Schätzwert für den statistischen Fehler einer Einzelmessung, auch Standardabweichung genannt, ist $\sigma=\sqrt{\left<x^{2}\right> -\left<x\right> ^{2}}=\sqrt{\frac{1}{n-1}\,\sum\limits_{i=1}^{n}(x_{i}-\left<x\right> )^{2}}$.   (1.14) Der Schätzwert für den statistischen Fehler der gesamten Stichprobe, auch Standardabweichung des Mittelwerts genannt, ist $\Updelta x=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\sqrt{\frac{1}{n\,(n-1)}\,\sum\limits_{i=1}^{n}(x_{i}-\left<x\right> )^{2}}$.   (1.15)

Antwort auf die Kurzfrage

• 1.1 6

Lösungen der Zusatzaufgaben

• 1.1 a) 0,05, b) 3,9, c) 0,003

• 1.2 $2{,}39\cdot 10^{2}$

• 1.3 $3{,}2\cdot 10^{5}\,\text{a}$

• 1.4 $\approx 6\cdot 10^{15}$

Aufgaben

1.1 Verständnisaufgaben

1.1

• Welche der folgenden physikalischen Größen ist keine Grundgröße im SI-Einheitensystem? a) Masse, b) Länge, c) Energie, d) Zeit, e) alle genannten Größen sind solche Grundgrößen.

1.2

• Am Ende einer Berechnung erhalten Sie m$/$s im Zähler und m$/$s${}^{2}$ im Nenner. Wie lautet die endgültige Maßeinheit? a) m${}^{2}/$s${}^{3}$,  b) 1$/$s,  c) s${}^{3}/$m${}^{2}$,  d) s,  e) m$/$s.

1.3

• Wie viele signifikante Stellen hat die Dezimalzahl 0,000 513 0?  a) eine, b) drei, c) vier, d) sieben, e) acht.

1.4

• Richtig oder falsch? Zwei Größen müssen die gleiche Dimension haben, um miteinander multipliziert werden zu können.

1.2 Schätzungs- und Näherungsaufgaben

1.5

• Die Annahme, dass der menschliche Körper im Wesentlichen aus Wasser besteht, ermöglicht einige gute Schätzungen. Ein Wassermolekül hat die Masse $29{,}9\cdot 10^{-27}\,\mathrm{kg}$. Schätzen Sie die Anzahl der Wassermoleküle eines Menschen mit einer Masse von 60 kg.

1.6

•• a) Schätzen Sie, wie viele Liter Benzin die Kraftfahrzeuge in den USA jeden Tag verbrauchen, sowie den Geldwert dieser Benzinmenge. b) Aus einem Barrel (knapp 159 l) Rohöl können ca. 73 l Benzin gewonnen werden. Wie viele Barrel Rohöl müssen die USA demnach zur Benzingewinnung jährlich einsetzen? Wie vielen Barrel Rohöl pro Tag entspricht das?

1.7

•• Das sogenannte „Megabyte“ (MB) ist eine Maßeinheit für die Kapazität bzw. das Fassungsvermögen von Computerspeichern, CD-ROMs oder Musik- bzw. Sprach-CDs. Beispielsweise kann eine Musik-CD mit ihrer Speicherkapazität von 700 MB etwa 70 min Musik in HiFi-Qualität speichern. a) Wie viele MB werden für einen 5 min langen Musiktitel benötigt? b) Schätzen Sie, wie viele Romane auf einer CD-ROM gespeichert werden können, wenn pro Druckseite Text durchschnittlich 5 KB an Speicherplatz benötigt werden.

1.3 Maßeinheiten

1.8

• Drücken Sie die folgenden Werte mithilfe geeigneter Vorsätze aus. Beispiel: 10 000 m $=$ 10 km.  a) 1 000 000 W,  b) 0,002 g,  c) $3\cdot 10^{-6}$ m,  d) 30 000 s.

1.9

•• In den folgenden Gleichungen wird die Strecke $x$ in Metern, die Zeit $t$ in Sekunden und die Geschwindigkeit $v$ in Metern pro Sekunde angegeben. Welche SI-Einheiten haben jeweils die Konstanten $C_{1}$ und $C_{2}$?  a) $x=C_{1}+C_{2}\,t$,  b) $x=\frac{1}{2}\,C_{1}\,t^{2}$,  c) $v^{2}=2\,C_{1}\,x$,  d) $x=C_{1}\,\cos C_{2}\,t$,  e) $v^{2}$ $=$ $2\,C_{1}\,v-(C_{2}\,x)^{2}$.

1.4 Umrechnen von Einheiten

1.10

• Die Schallgeschwindigkeit in Luft beträgt bei normalen Bedingungen 343 m$/$s. Sie wird in der Luft- und Raumfahrt nach Ernst Mach als „Mach 1“ bezeichnet (man sagt auch: „Die Mach-Zahl beträgt 1“). Wie hoch ist in km$/$h die Geschwindigkeit eines Überschallflugzeugs, das mit Mach 2, also mit doppelter Schallgeschwindigkeit, fliegt?

1.11

•• Im Folgenden ist jeweils $x$ in Metern, $t$ in Sekunden, $v$ in Metern pro Sekunde und $a$ in Metern pro Sekunde zum Quadrat gegeben. Gesucht sind die SI-Einheiten der Ausdrücke  a) $v^{2}/x$,  b) $\sqrt{x/a}$,  c) $\frac{1}{2}\,a\,t^{2}$.

1.5 Dimensionen physikalischer Größen

1.12

• Prüfen Sie, dass die rechte Seite von Einsteins berühmter Formel $E=mc^{2}$ für den Zusammenhang zwischen Masse und Energie tatsächlich die passenden Einheiten für eine Energiemenge liefert. Dabei ist $m$ die gegebene Masse und $c$ die Lichtgeschwindigkeit.

1.13

• Das Zeitgesetz für den radioaktiven Zerfall lautet $n(t)=n_{0}\,\text{e}^{-\lambda\,t}$, wobei $n_{0}$ die Anzahl der radioaktiven Kerne zur Zeit $t=0$ und $n(t)$ die Anzahl der davon zum Zeitpunkt $t$ verbliebenen Kerne sowie $\lambda$ die sogenannte Zerfallskonstante ist. Welche Dimension hat $\lambda$?

1.14

•• Die SI-Einheit kg $\mathrm{m/s}^{2}$ der Kraft wird Newton (N) genannt. Gesucht sind die Dimension und die SI-Einheit der Konstanten $\varGamma$ im Newton’schen Gravitationsgesetz $F=\varGamma\,m_{1}\,m_{2}/r^{2}$.

1.15

•• Der Impuls eines Körpers ist das Produkt aus seiner Geschwindigkeit und seiner Masse. Zeigen Sie, dass der Impuls die Dimension Kraft mal Zeit hat.

1.16

•• Wenn ein Gegenstand in der Luft fällt, dann übt diese eine Widerstandskraft $F_{\mathrm{W}}$ aus, die proportional zum Produkt aus der Querschnittsfläche des Gegenstands und dem Quadrat seiner Geschwindigkeit ist. Somit gilt $F_{\mathrm{W}}=CA\,v^{2}$, wobei $C$ eine Konstante ist. Bestimmen Sie deren Dimension.

1.6 Exponentialschreibweise und signifikante Stellen

1.17

• Drücken Sie folgende Werte in der jeweils zusätzlich angegebenen Einheit in der Exponentialschreibweise aus: a) 1 345 100 m $=$ … km, b) 12 340,0 kW $=$ … MW, c) 54,32 ps $=$ … s, d) 3,0 m $=$ … mm.

1.7 Allgemeine Aufgaben

1.18

• Sie stehen am Ufer der französischen Kanalküste und sehen in der Ferne die englischen Kreidefelsen. Sie wollen mit der trigonometrischen Formel $h=l\cdot\sin(\alpha)$ die Höhe der Kreidefelsen berechnen, wobei $l$ die Entfernung der Felsen und $\alpha$ die Winkelausdehnung der Kreidefelsen aus Ihrer Perspektive ist. Sie schätzen, dass das andere Kanalufer etwa $35\pm 5$ km entfernt ist. Die Felsen nehmen in ihrer Höhe einen Winkel von etwa $0{,}2^{\circ}\pm 0{,}02^{\circ}$ im Sichtfeld ein. Führen Sie die Fehlerfortpflanzung durch und geben Sie einen Wert für $h$ sowie den Fehler in $h$ an.

1.19

•• Ein Eisenatomkern hat den Radius $5{,}4\cdot 10^{-15}\,\mathrm{m}$ und die Masse $9{,}3\cdot 10^{-26}\,\mathrm{kg}$.  a) Wie groß ist (in kg$/$m${}^{3}$) das Verhältnis der Masse zum Volumen? b) Angenommen, die Erde hätte das gleiche Masse-Volumen-Verhältnis. Wie groß wäre dann ihr Radius? (Die Masse der Erde beträgt $5{,}98\cdot 10^{24}\,\mathrm{kg}$.)

1.20

•• Falls die durchschnittliche Dichte des Universums mindestens $6\cdot 10^{-27}\,\mathrm{kg/m}^{3}$ beträgt, wird seine Expansion eines Tages aufhören und in eine Kontraktion umschlagen. a) Wie viele Elektronen pro Kubikmeter wären notwendig, um die kritische Dichte zu erzeugen? b) Wie viele Protonen pro Kubikmeter würden die kritische Dichte erzeugen? ($m_{\mathrm{e}}=9{,}11\cdot 10^{-31}\,\mathrm{kg}$, $m_{\mathrm{P}}=1{,}67\cdot 10^{-27}\,\mathrm{kg}$.)

1.21

•• Eine astronomische Einheit (1 AE) ist definiert als der mittlere Abstand $1{,}496\cdot 10^{11}\,\mathrm{m}$ der Mittelpunkte von Erde und Sonne. Ein Parsec (1 pc) ist der Radius eines Kreises, dessen Kreisbogen bei einem Zentriwinkel von einer Bogensekunde ($=\frac{1}{3600}{{}^{\circ}}$) genau 1 AE lang ist (siehe Abbildung). Ein Lichtjahr ist die Entfernung, die das Licht in einem Jahr zurücklegt. a) Wie viele Parsec bilden eine astronomische Einheit? b) Wie viele Meter entsprechen einem Parsec? c) Wie viele Meter umfasst ein Lichtjahr? d) Wie viele astronomische Einheiten ergeben ein Lichtjahr? e) Wie viele Lichtjahre bilden ein Parsec?

Abb. 1.5

Zu Aufgabe 1.21

1.22

•• In der folgenden Tabelle sind die Umlaufzeiten $T$ und die Radien $r$ der Umlaufbahnen von vier Satelliten aufgeführt, die einen schweren Asteroiden mit hoher Dichte umkreisen.

Umlaufzeit $T$, a	0,44	1,61	3,88	7,89
Radius $r$, Gm	0,088	0,208	0,374	0,600

a) Die Daten lassen sich durch die Formel $T=C\,r^{n}$ beschreiben. Ermitteln Sie die Werte der Konstanten $C$ und $n$.  b) Es wird ein fünfter Satellit mit einer Umlaufzeit von 6,20 a entdeckt. Bestimmen Sie mithilfe der in Teilaufgabe a ermittelten Formel den Radius der Umlaufbahn dieses Satelliten.

1.23

••• Die Schwingungsdauer $T$ eines mathematischen Pendels hängt von seiner Länge $l$ und von der Erdbeschleunigung $g$ (Dimension $\text{L}/\text{T}^{2}$) ab. a) Ermitteln Sie eine einfache Kombination von $l$ und $g$, die die Dimension der Zeit hat. b) Überprüfen Sie durch Messen der Schwingungsdauern (der Dauern für ein vollständiges Hin- und Herschwingen) eines Pendels bei zwei verschiedenen Pendellängen $l$ die Abhängigkeit der Schwingungsdauer $T$ von $l$.  c) Die richtige Formel für $T$, $l$ und $g$ enthält eine Konstante, die ein Vielfaches von $\pi$ ist und sich nicht aus der Dimensionsbetrachtung in Teilaufgabe a ergibt. Sie kann aber experimentell wie in Teilaufgabe b ermittelt werden, wenn $g$ bekannt ist. Ermitteln Sie mit $g=9{,}81\,\text{m}/\text{s}^{2}$ und mithilfe Ihrer experimentellen Ergebnisse von Teilaufgabe b eine möglichst genaue Beziehung zwischen $T$, $l$ und $g$.