Differenzierbare Mannigfaltigkeiten

Zusammenfassung

In der klassischen Integralrechnung verwendet man zur Beschreibung und Verarbeitung einer gekrümmten glatten Fläche im dreidimensionalen Raum häufig eine Parameterdarstellung. Das ist eine bijektive Abbildung von einer Menge von Zahlenpaaren auf diese Fläche. Mitunter funktioniert eine solche Abbildung nicht überall, dann muss man für verschiedene Regionen der Fläche verschiedene Darstellungen (Karten) verwenden. Beispielsweise bietet sich für die Darstellung der Erdoberfläche ein Atlas mit vier Karten an: Arktis, Antarktis und zwei Karten für die Tropen und die gemäßigte Zone. Da jede dieser Parametermengen offen sein sollte und die Karten die gesamte Fläche überdecken müssen, überlagern sich die Karten. Dort entstehen Umrechnungen zwischen den Parameterpaaren, die bestimmte Glattheitsforderungen erfüllen sollen. Damit ist die Kugeloberfläche zu einem typischen Beispiel einer zweidimensionalen Mannigfaltigkeit geworden. Die Bijektionen übertragen den Begriff der Offenheit einer Menge von Zahlenpaaren auf die Teilmengen der dargestellten Fläche. Damit ist die gekrümmte Fläche als zweidimensionale Untermannigfaltigkeit des dreidimensionalen Raumes interpretiert. Allgemeiner werden auch n-dimensionale Untermannigfaltigkeiten des m-dimensionalen Raumes (m>n) untersucht.