Symplektische Geometrie

Zusammenfassung

Wenn man den Spezialfall linearer hamiltonscher Differentialgleichungen verlässt, wird die im Kapitel 6 untersuchte symplektische Bilinearform zur symplektischen Form, und Lagrange-Unterräume werden zu Lagrange-Untermannigfaltigkeiten. Symplektische Mannigfaltigkeiten, also Mannigfaltigkeiten mit einer solchen Differentialform, besitzen eine besondere Geometrie. Ihre strukturerhaltenden Abbildungen heißen kanonisch. Einfache Beispiele kanonischer Transformationen sind der Kotangentiallift und die Fasertranslation.

Im Gegensatz zur riemannschen Geometrie mit ihrem Krümmungstensor besitzt die symplektische Geometrie keine lokalen Invarianten (Satz von Darboux).

Lagrange-Mannigfaltigkeiten sind Untermannigfaltigkeiten der halben Dimension des Phasenraums, auf denen die symplektische Form verschwindet. Flussinvariante Lagrange-Mannigfaltigkeiten als Niveaumengen darzustellen ist der erste Schritt zur Lösung integrabler Systeme.