Faktorielle Ringe

Zusammenfassung

Im Integritätsbereich ${\mathbb{Z}}$ lässt sich jedes Element $a\not=0,\,\pm 1$, von der Reihenfolge der Faktoren abgesehen, auf genau eine Weise als ein Produkt einer Einheit in ${\mathbb{Z}}$ und Primzahlen $p_{1},\ldots,\,p_{n}$ darstellen: $a=\pm p_{1}\cdots p_{n}$. Wir befassen uns jetzt mit der Existenz und Eindeutigkeit solcher Primfaktorzerlegungen allgemeiner: Einen Integritätsbereich, in dem jede Nichteinheit $\not=0$ eine (von der Reihenfolge der Faktoren abgesehen) eindeutige Zerlegung in Primelemente hat, nennen wir faktoriellen Ring. Die meisten Integritätsbereiche, die wir kennen, sind faktoriell. Ein nichtfaktorieller Integritätsbereich ist ${\mathbb{Z}}[\sqrt{-5}]$. Wir diskutieren dieses Beispiel ausführlich.