Teilbarkeit in Integritätsbereichen

Zusammenfassung

In diesem Kapitel wollen wir einige der üblichen Begriffsbildungen der elementaren Arithmetik im Ring ${\mathbb{Z}}$ auf beliebige Integritätsbereiche übertragen. Dies bringt einen gleichzeitigen Zugang zur Arithmetik in ${\mathbb{Z}}$, in den wichtigsten Polynomringen und in anderen Integritätsbereichen, die wir noch kennenlernen werden.

Teilbarkeit lässt sich idealtheoretisch interpretieren, es gilt nämlich $a\,|\,b\ \Leftrightarrow\ (b)\subseteq(a)$. Diese Interpretation gibt einen Anlass zu hinterfragen, welcher Zusammenhang zwischen Teilbarkeit und maximalen bzw. Primidealen besteht. Kurz, aber etwas ungenau gefasst ist dieser Zusammenhang wie folgt: Primideale werden von Primelementen erzeugt, maximale Ideale von unzerlegbaren Elementen. In ${\mathbb{Z}}$ stimmen beide Begriffe überein, aber es gibt Beispiele von Integritätsbereichen, in denen dies nicht so ist.

Wir erinnern daran, dass wir in einem Integritätsbereich kürzen dürfen, d. h., aus $a,\,b,\,c\in R$, $c\not=0$, und $a\,c=b\,c$ folgt a = b (vgl. Beispiel 13.5).