Schwingungen & Wellen

Zusammenfassung

Schwingungen spielen eine große Rolle in allen Bereichen der Physik. In Uhren sind sie fundamental, in mechanischen Maschinen sind sie oft unerwünscht, in der Akustik werden sie gezielt eingesetzt, in der Elektrodynamik bilden sie die Grundlage für Radiosender und in der Molekül- und Festkörperphysik geben sie Aufschluss über die quantenmechanischen Kopplungsmechanismen der Atome.

Der harmonische Oszillator stellt ein grundlegendes Schwingungssystem dar. Sein Kennzeichen ist, dass die Beschleunigung proportional zur Auslenkung aus der Gleichgewichtslage und stets zu dieser hin gerichtet ist. Typisch hierfür ist eine an einer elastischen Feder befestigte, reibungsfrei schwingende Masse m (Abb. 2.1).

Wird sie um die Strecke x aus dem Gleichgewicht ausgelenkt, so wirkt die rücktreibende Federkraft $F=-k\,x$. Diese führt zur Beschleunigung der Masse gemäß $F=m\,a$ in Richtung der Gleichgewichtslage bei x = 0 (Abschn. 1.1). Aufgrund der Trägheit schwingt die Masse darüber hinaus, wird aber durch $F=-k\,(-x)$ wieder zurückgetrieben. Das System aus rücktreibender Kraft (Feder) und trägem Element (Masse) versucht also, immer in die stabile Ruhelage zurückzukehren. Aus der Kräftegleichung $m\,a=-k\,x$ erhalten wir für die freie, ungedämpfte (reibungsfreie) Schwingung die Differentialgleichung

$$\frac{{\mathrm{d}^{2}x}}{{\mathrm{d}t^{2}}}+\frac{k}{m}x=0\quad\text{(Schwingungsgleichung, unged{\"a}mpft)\,.}$$

(2.1)

Die Lösung dieser Differentialgleichung (DGL) ist keine Zahl, sondern eine Funktion $x(t)$, welche die DGL jederzeit erfüllen muss. Die Lösung lautet