Zusammenfassung
In diesem Kapitel werden zunächst die für Mehrteilchensysteme erforderlichen Tensorprodukte von Hilbert-Räumen mathematisch eingeführt. Mit dieser mathematischen Vorbereitung werden dann Tensorprodukte von Qbits betrachtet, d. h. Systeme, die aus mehreren Qbits bestehen. Dabei werden die nützliche und in der Quanteninformatik omnipräsente Rechenbasis und auch die Bell-Basisvektoren eingeführt. Danach werden Zustände und Operatoren für Mehrteilchensysteme und deren Reduktion auf Teilsysteme betrachtet. Dazu werden die Teilspur und der reduzierte Dichteoperator definiert. Danach wird auf das mögliche Entstehen von gemischten Zuständen bei der Beobachtung von Teilsystemen eingegangen. Schließlich wird noch die oftmals hilfreiche Schmidt-Zerlegung eines aus zwei Teilsystemen zusammengesetzten Systems vorgestellt.
Zusammenfassung
In diesem Kapitel werden zunächst die für Mehrteilchensysteme erforderlichen Tensorprodukte von Hilbert-Räumen mathematisch eingeführt. Mit dieser mathematischen Vorbereitung werden dann Tensorprodukte von Qbits betrachtet, d. h. Systeme, die aus mehreren Qbits bestehen. Dabei werden die nützliche und in der Quanteninformatik omnipräsente Rechenbasis und auch die Bell-Basisvektoren eingeführt. Danach werden Zustände und Operatoren für Mehrteilchensysteme und deren Reduktion auf Teilsysteme betrachtet. Dazu werden die Teilspur und der reduzierte Dichteoperator definiert. Danach wird auf das mögliche Entstehen von gemischten Zuständen bei der Beobachtung von Teilsystemen eingegangen. Schließlich wird noch die oftmals hilfreiche Schmidt-Zerlegung eines aus zwei Teilsystemen zusammengesetzten Systems vorgestellt.
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Notes
- 1.
Üblicherweise wird bei der quantenmechanischen Berechnung der Eigenschaften des Wasserstoffatoms das Proton als im Raum fixiertes Teilchen betrachtet, das eine Coulomb-Kraft auf das Elektron ausübt. In dieser Näherung bleibt der Zustand des Protons unverändert, man betrachtet nur die Auswirkungen auf das Elektron und benötigt lediglich \(\mathbb{H}^{E}\). Eine genauere Betrachtung bezieht die Wechselwirkung auf das Proton mit ein und führt Schwerpunkt- und Relativkoordinaten ein. Der Schwerpunktszustand wiederum ändert sich bei isolierten Systemen nur in trivialer Weise, und der dazugehörige Hilbert-Raum wird dann ebenfalls ignoriert.
- 2.
Mit im unendlichdimensionalen Fall möglicherweise unendlich vielen Summanden.
- 3.
Lediglich im Fall unendlichdimensionaler Teilräume muss \(\mathbb{H}^{A}\otimes\mathbb{H}^{B}\) noch in dieser Norm vervollständigt (siehe [40]) werden, um daraus einen Hilbert-Raum zu machen.
- 4.
Natürlich gibt es auch Observable des Gesamtsystems, die sich nicht aus Teilobservablen ergeben.
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Scherer, W. (2016). Zusammengesetzte Systeme und Tensorprodukte. In: Mathematik der Quanteninformatik. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-49080-8_3
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DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-49080-8_3
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Publisher Name: Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg
Print ISBN: 978-3-662-49079-2
Online ISBN: 978-3-662-49080-8
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