Zusammenfassung
In Abschn. 3.4 haben wir zentrale Aussagen über den Zusammenhang zwischen Lie-Gruppen und Lie-Algebren zusammengestellt. In diesem Kapitel beschäftigen wir uns nun mit zwei kompakten Lie-Gruppen, die insbesondere im mikroskopischen Bereich von zentraler Bedeutung sind, nämlich den Gruppen SO(3) und SU(2). Wir diskutieren die Vertauschungsrelationen der Lie-Algebra so(3) und wenden uns anschließend den irreduziblen Darstellungen der Gruppen SO(3) und SU(2) sowie der Clebsch-Gordan-Zerlegung des inneren Tensorprodukts zu. Im Zusammenhang mit der Kopplung von Drehimpulsen lernen wir die Clebsch-Gordan-Koeffizienten kennen. Eine effiziente Berechnung von Matrixelementen wird durch das Wigner-Eckart-Theorem ermöglicht.
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Notes
- 1.
Die Verwendung hermitescher Operatoren führt zu reellen Eigenwerten. Somit resultiert die Exponentialabbildung \(U=\exp(-\mathrm{i}\,\vec{\omega}\cdot\vec{J})\) mit reellem \(\vec{\omega}\) in einem unitären Operator.
- 2.
Der Nullvektor eines Vektorraums ist nach Definition nie Eigenvektor.
- 3.
Die Menge aller Eigenwerte eines linearen Operators A wird als Spektrum von A bezeichnet.
- 4.
Das Abspalten des Faktors \(1/\sqrt{2j^{\prime}+1}\) ist eine Frage der Konvention.
- 5.
Die Emission eines Lichtquants wird durch den Anteil proportional zu \(a^{\ast}\left(\vec{k},\lambda\right)\) beschrieben.
- 6.
In Heisenberg; 1932 wurde im Kontext des Hamilton-Operators eines Atomkerns eine neue (Quanten-)Zahl ρ eingeführt, mit den Werten +1 für das Proton und −1 für das Neutron.
- 7.
Die Tiefstellung „st“ bezeichnet die starke Wechselwirkung.
- 8.
Wegen (4.31) geht die Reihenfolge der Kopplung in das Vorzeichen des Clebsch-Gordan-Koeffizienten ein. Wir verwenden hier dieselbe Reihenfolge wie in den Ket-Zuständen, d. h. \(I_{1}=1\) und \(I_{2}=\frac{1}{2}\).
- 9.
Die Bezeichnung Ladungsaustausch bezieht sich darauf, dass die positive Ladung des Pions im Anfangszustand auf die positive Ladung des Protons im Endzustand transferiert wurde.
- 10.
Eine ausführlichere Auseinandersetzung mit der Beschreibung von Symmetrien im Rahmen relativistischer Quantenfeldtheorien wird in Kap. 6 erfolgen.
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Scherer, S. (2016). Die Gruppen SO(3) und SU(2). In: Symmetrien und Gruppen in der Teilchenphysik. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-47734-2_4
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