Mechanik

Zusammenfassung

Die klassische Mechanik beschreibt das dynamische Verhalten von festen Körpern. Im Allgemeinen wirken auf einen Körper Kräfte, sodass sich seine Geschwindigkeit ständig ändert. Die Änderung der Geschwindigkeit, also die Beschleunigung, ist bestimmt durch die Kraft. Für einen Massepunkt gilt das Newton’sche Bewegungsgesetz:

$$ m\ddot{\vec{q}}=\vec{F}.$$

Hier ist F die herrschende Kraft und q die Koordinate des Körpers. Beide Größen sind Vektoren im dreidimensionalen Raum. Die Kraft ist proportional der Beschleunigung, der zweifachen Ableitung der Koordinate nach der Zeit.

Die Bewegung eines Massenpunkts oder eines ausgedehnten starren Körpers ist bestimmt durch das Prinzip der kleinsten Wirkung. Aus diesem Prinzip leitet man die Bewegungsgleichungen ab.

Betrachten wir als einfachstes Beispiel einen Massenpunkt, der sich zu der Zeit t am Punkt q befindet, und zur späteren Zeit T am Punkt Q. Die Lagrange-Funktion des Körpers ist gegeben durch die Differenz der kinetischen Energie T und der potenziellen Energie U, die ihrerseits von den verallgemeinerten Koordinaten und den verallgemeinerten Geschwindigkeiten abhängen:

$$ L=T(q,\dot{q})-U(q,\dot{q}).$$

Oftmals betrachtet man auch die Gesamtenergie des Systems, die sogenannte Hamilton-Funktion, gegeben durch die Summe der kinetischen Energie T und der potenziellen Energie U:

$$ H=T(q,\dot{q})+U(q,\dot{q}).$$

Die Wirkung S ist gegeben durch das Zeitintegral der Lagrange-Funktion:

$$ S=\int\limits_{t}^{T}{L\,\mathrm{d} t}.$$