Die irreduziblen Darstellungen abelscher Gruppen über beliebigen Körpern

Zusammenfassung

Die irreduziblen Darstellungen einer endlichen abelschen Gruppe g über einem algebraisch abgeschlossenen Körper K mit einer die Ordnung von g nicht teilenden Charakteristik sind wohlbekannt. Ist a ₁, ..., a _r . eine Basis von g, so wähle man zu jedem a _i in K eine Einheitswurzel ζ _i , deren Ordnung mit der Ordnung h _i von a _i übereinstimmt. Dann durchläuft

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(1)

alle irreduziblen Darstellungen von g über K und jede genau einmal, wenn t ₁, t ₂ ..., t _r alle n-Tupel ganzer rationaler Zahlen mit 0 ≦ t _i < h _i für i = 1, ..., r durchläuft. Nun führen gewisse Anwendungen der Darstellungstheorie auf endliche Gruppen häufig zu Darstellungen über solchen Grundkörpern, die entweder nicht algebraisch abgeschlossen sind oder eine die Gruppenordnung teilende Charakteristik haben. Das typische Beispiel hierfür sind Gruppen mit einem elementar abelschen p-Normalteiler. Die Faktorgruppe nach diesem Normalteiler erfährt auf ihm als Darstellungsmodul in bekannter Weise (vgl. auch § 2) eine Darstellung über GF(p). Diese Darstellung spiegelt die Transformationswirkung der Gesamtgruppe auf den Normalteiler wider. Hierbei kann p die Ordnung der Faktorgruppe teilen. Bei Betrachtung der Darstellung im Zusammenhang mit der Gruppenstruktur ist es prinzipiell unmöglich, den Grundkörper GF(p) durch einen umfassenderen, etwa einen algebraisch abgeschlossenen Oberkörper, zu ersetzen. Somit scheint die Zugrundelegung eines möglichst allgemeinen Grundkörpers bei der Untersuchung von Gruppendarstellungen angebracht. § 1 enthält eine vollständige Aufzählung der inäquivalenten irreduziblen Darstellungen einer endlichen abelschen Gruppe über einem beliebigen Körper. Sie leiten sich ab aus der regulären Darstellung gewisser Kreisteilungskörper über dem Grundkörper in Anlehnung an die Abbildung (1). Die Äquivalenzfrage hängt naturgemäß eng mit den Automorphismen der genannten Körpererweiterungen zusammen. In § 2 liefern wir als Anwendung der gewonnenen Erkenntnisse eine Klassifikation der endlichen Gruppen mit folgender Eigenschaft:

ξ: Die Gruppe ist zerfallende Erweiterung ihrer Ableitung, welche ihrerseits direkt zerfällt in abelsche minimale Normalteiler der ganzen Gruppe.