Fermatindizes

Zusammenfassung

Es sei für 0 ∉ A

$$D = nU \cap U$$

(1)

gesucht. (1) ist offenbar ein Spezialfall von 4.(1). — D enthält wegen 0 ∉ A diejenigen Elemente von Д, die auch als Summen von genau n Elementen der Menge A selbst darstellbar sind. Wäre 0 ∈ A, so ist D = A trivial. In diesem Fall ergibt sich jedoch die neue Aufgabe, daß man nämlich nach den durch höchstens n Summanden nichttrivial darstellbaren Elementen von A fragt. Eines der bekanntesten Probleme, die unter (1) fallen, ist die große Fermatsche Vermutung. Ist nämlich n = 2, A= Z ^(k) =_Df {1^k, 2^k ..., x ^k, ...}, so besagt (1), daß die Menge derjenigen k-ten Potenzen z ^k ist, die sich in der Form x ^k + y ^k darstellen lassen. Gesucht ist also die Gesamtheit aller nichttrivialen ganzzahligen Lösungen von x^k+ y ^k = z^k. (1) bringt also eine innere Struktureigenschaft von 21 zum Ausdruck. Von Inter­esse wird, wenn 0 ∉ A ist, noch das kleinste ganze n =_Df f (A) ≧ 2, sein, für welches D ≠ 0 ist. Für n = 1 ist D = A trivial. Falls 0 ∈ A ist, so werde f (A) = f (A⁽⁰⁾) gesetzt. Bezüglich der FERMATschen-Vermutung f (Z^(k)) > 2 führt dies auf die allgemeinere Fragestellung: Wie groß muß f = f (Z^(k)) sein, damit

$$x_1^k + x_2^k + \cdot \cdot \cdot + x_f^k = {z^k}$$

(2)

nichttrivial lösbar ist, während $x_1^k + x_2^k + \cdot \cdot \cdot + x_{f - 1}^k = {{\text{z}}^{\text{k}}}$ noch unlösbar ist mit x i > 0 (i = 1, 2, ..., f−1).