Zusammenfassung
In diesem Kapitel wollen wir die thermodynamischen Eigenschaften idealer Quantengase, also nicht wechselwirkender Teilchen, aus der Quantenstatistik herleiten. Dies umfaßt nichtrelativistische Fermionen und Bosonen, deren Wechselwirkungen vernachlässigt werden, Quasiteilchen in kondensierter Materie und relativistische Quanten, insbesondere Photonen.
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Literatur
Anmerkung: Für Bosonen kann der Zustand (4.1.3) auch in der Form (N!/n p1 ! n P 2! …)-1/2 Ep, P’ 1p 1 )... 1pN) geschrieben werden, wo nur über zu unterschiedlichen Termen führende Permutationen P’ summiert wird.
Fugazität=Flüchtigkeit: (Ursprünglich eingeführt als Größe, die in der idealen Zustandsgleichung den Druck P ersetzt, so daß daraus die Zustandsgleichung des realen Gases resultiert).
Siehe z.B. F. Schwabl, Quantenmechanik für Fortgeschrittene (QM II),3. Aufl., Springer, 2004, Kap. 1
Für Bosonen wird es sich in Abschn. 4.4 erweisen, daß in einem Temperaturbereich, wo —* 0 geht, der Term mit p = 0 beim Übergang von der Summe über die Impulse zum Integral gesondert behandelt werden muß. und (3.1.18) folgt
Die Gamma-Funktion ist durch P(v) = f dt tv - 1 [Re v 0] definiert. Sie erfüllt die Relation F(v +1) = v F(v); z. B.: P(2) =, T (2) = \/2, P(2) = 3,/77/4. Die Riemannsche c-Funktion ist in Gl. (D.2) definiert.
In (4.3.8) und (4.3.14) ist 0 nach wie vor durch seine natürlichen Variablen T,V und µ ausgedrückt, da NéF3/2 a V. In (4.3.14’) ist die Abhängigkeit vonüber (4.3.13) durch T und N/V ersetzt.
Sollte f (e) von vornherein nur für positive é definiert sein, kann man z.B. f (—E)f (E) definieren, das Ergebnis hängt nur von f (e) bei positiven E ab.
Diese Reihe ist eine asymptotische Reihe in T. Eine asymptotische Reihe für eine Funktion /(A), /(A) = o ak + R,,,(0) ist durch folgendes Verhalten des Restglieds charakterisiert: lima_,o R,,,(A)/A m = 0, limm_oo R, (A) = oo. Für kleine A wird die Funktion durch eine endliche Zahl der Reihenglieder sehr genau repräsentiert. Daß für Funktionen f (E) e1/2 etc. das Integral aus (4.3.10) nicht in eine Taylor-Reihe entwickelbar ist, sieht man sofort, da I für T 0 divergiert.
Wenn man das großkanonische Potential als Funktion seiner natürlichen Varia-blen benötigt, muß man in (4.3.14) NE—F3/2 = Vg(2m)3/2/67r2h3 ersetzen. Für die Berechnung von Cv und der Zustandsgleichung ist es jedoch zweckmäßig als Variable T,V und N zu verwenden.
A.L. Fetter and J.D. Walecka, Quantum Theory of Many-Particle Systems, McGraw-Hill, New York 1971
Eine in der Astronomie übliche Klassifizierung der Sterne erfolgt durch die Angabe ihrer Lage im Hertzsprung-Russel-Diagramm, in welchem die Helligkeit gegen die Farbe (äquivalent der Oberflächentemperatur) aufgetragen ist. Die meisten Sterne liegen in der sog. Hauptreihe. Das sind Sterne etwa von einem Zehntel der Masse der Sonne bis zur sechzigfachen Sonnenmasse, in dem Entwicklungsstadium, in welchem Wasserstoff zu Helium fusioniert (verbrennt). Etwa 90% ihrer Entwicklung halten sich die Sterne in der Hauptreihe auf — solange das nukleare Brennen und die Gravitationsanziehung einander die Waage halten. Wenn der Kernverschmelzungsprozeß zu Ende geht, dominiert die Schwerkraft. In der weiteren Entwicklung werden die Sterne zu roten Riesen und kontrahieren schließlich zu folgenden Endstadien. Für Sterne bis zur 1.4-fachen Masse unserer Sonne wird die Verdichtung durch das Ansteigen der Fermi-Energie der Elektronen beendet, es entsteht ein weißer Zwerg, bestehend aus Helium und Elektronen. Sterne mit der zwei-bis dreifachen Sonnenmasse beenden ihre Kontraktion nach Zwischenstadien als Neutronensterne. Ab der drei-bis vierfachen Sonnenmasse ist auch die Fermi-Energie der Neutronen nicht mehr imstande den Verdichtungsprozeß zu stoppen, es entsteht ein schwarzes Loch.
Eine detaillierte Darstellung der Landauschen Fermi-Flüssigkeitstheorie findet sich in D. Pines and Ph. Nozieres, The Theory of Quantum Liquids, W.A. Benjamin, New York 1966 und J. Wilks, The Properties of Liquid and Solid Helium, Clarendon Press, Oxford, 1967. Siehe auch J. Wilks and D.S. Betts, An Introduction to Liquid Helium, Oxford University Press, 2nd ed., Oxford, (1987).
A. Einstein, Sitzber. Kg1. Preuss. Akad. Wiss. 1924, 261, (1924), ibid. 1925, 3 (1925) S. Bose, Z. Phys. 26, 178 (1924)
Man beachte dzg„(z) = zg (z).
M.H. Anderson, J.R. Ensher, M.R. Matthews, C.E. Wieman and E.A. Cornell, Science 269, 198 (1995)
Siehe auch G.P. Collins, Physics Today, August 1995, 17.
C.C. Bradley, C.A. Sackett, J.J. Tollett and R.G. Hulet, Phys. Rev. Lett. 75, 1687 (1995)
D. Kleppner, Th. Greytak et al., Phys. Rev. Lett. 81, 3811 (1998)
Eine detaillierte Diskussion der Tendenz von Bosonen sich in Regionen überlappender Wellenfunktionen zusammenzuballen, findet sich in E.M. Henley und W. Thirring, Elementary Quantum Field Theory,McGraw Hill, New York 1962, Seite 52ff.
R. Hanbury Brown und R.Q. Twiss, Nature 177, 27 (1956)
D.G. Henshaw and A.D. Woods, Phys. Rev. 121, 1266 (1961)
Dagegen kann es in wechselwirkenden Fermi-Systemen sowohl Fermi-wie BoseQuasiteilchen geben. Die Teilchen-Zahl bosonischer Quasiteilchen ist im allgemeinen nicht fest. Extra Quasiteilchen können entstehen; da die Änderung des Drehimpulses jedes Quantensystems ganzzahlig sein muß, müssen diese Anregungen ganzzahligen Spin besitzen.
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Schwabl, F. (2004). Ideale Quanten-Gase. In: Statistische Mechanik. Springer-Lehrbuch. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-10042-4_4
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