Zusammenfassung
Die vorangehend behandelte Statik und die auf deren Grundgesetzen fußende Elastizitäts- und Festigkeitslehre bilden nach § 1.3 nur ein Teilgebiet der Mechanik, nämlich denjenigen Spezialfall, in dem trotz wirkender Kräfte keine Bewegung eintritt. Wir wenden uns jetzt der grundsätzlichen Aufgabe der Mechanik (§ 1.1), also der Untersuchung der Bewegung von Körpern zu; vorerst wird es sich um einführende Betrachtungen handeln.
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Literatur
Wegen der Zweiteilung der Dynamik in Kinematik und Kinetik s. § 1.3.
Siehe Aufg. 6 zu § 2.
Das heißt in gleichen Zeiten gleiche Kreisbögen zurücklegend.
Zur Lösung der linearen Differentialgleichung erster Ordnung siehe ROTHE Bd. III, § 19.
Siehe Rothe: Höhere Mathematik I, § 24, und II, § 28.
Man denke z. B. an ein auf das Rohr ausgeübtes Drehmoment und an eine auf die Kugel mittels eines im Rohr geführten Fadens einwirkende Kraft.
Der Buchstabe u soll den Charakter der Umfangsgeschwindigkeit zum Ausdruck bringen.
Damit wird also die Gültigkeit des Parallelogrammaxioms auch für beschleunigte Bewegungen vorausgesetzt.
Hier ist die Temperaturangabe notwendig, da das Volumen einer bestimmten Menge Wassers von der Temperatur abhängt !
Siehe Fußnoten von S. 27 und 29.
Woraus man — in der Physik — auf die Gleichheit von träger und schwerer — d. h. dem Gewicht zukommender, z. B. durch statische Federdeformation meßbarer — Masse schließt.
Diese geht auf Leonhard Euler zurück (s. a. § 1.4 und § 3.2), worauf C. A. Truesdell in mehreren Arbeiten hinweist (s. z. B. Zamm 1958, S. 148).
Der Index n deutet an, daß der Spannungsvektor n auf dasjenige Flachenelement dF wirkt, dessen Normalvektor n ist (Abb. 20.2).
Siehe Hamel: Elementare Mechanik S. 318. Leipzig 1912.
Wir bemerken allerdings, daß das von Newton formulierte Gegenwirkungsprinzip nur far den Fall zweier unmittelbar aneinander grenzender Teile beweisbar ist. Der heute allgemein vertretene Standpunkt, daß sich sämtliche Wirkungen mit einer gewissen Zeit durch den Raum ausbreiten, verbietet demgemäß die Übertragung des Gegenwirkungsprinzips auf zwei voneinander entfernte Körper ohne die Benutzung des Zeitbegriffes. Es ist durchaus denkbar, daß bei weit voneinander entfernten Körpern die Gegenwirkung erst später einsetzt als die Wirkung, so daß in solchen Fallen sogar eine Unbrauchbarkeit des Schwerpunkt- und Momentensatzes, bei denen die Gleichzeitigkeit von Wirkung und Gegenwirkung für alle Kräfte vorausgesetzt wird, nicht undenkbar wäre.
Vom fahrenden Eisenbahnzug aus scheint die Landschaft in Bewegung zu sein; um den Karussellinsassen „dreht sich die Welt“.
Ist r in Komponenten eines körperfesten Koordinatensystems gegeben, so hat man bei der Rilddnnc vnn r Formel (1 9 44) z bea chten
Aus (20.13) und (20.17) erhalten wir für den Fall eines ruhenden oder geradlinig-gleichförmig bewegten Systems die Gleichgewichtsbedingungen (7.17) und (7.18). Die Grundgleichungen der Statik sind demnach als Spezialfall in den allgemeinen Beziehungen (20.13) und (20.17) enthalten.
Dies besagt keineswegs, daß Schwerpunkt- und Drallsatz nur für den starren Körper gültig wären. Sie gelten allgemein auch für deformierbare Systeme, reichen jedoch zur völligen Erfassung des Verschiebungszustandes dann nicht aus!
Das Minuszeichen ist hier anzubringen, da die Tangentialkraft (m g sin φφ) den Winkel φ zu verkleinern sucht.
Der französische Physiker und Mathematiker Mersenne (1588–1648) stellte als erster die Aufgabe der Ermittlung des Schwingungsmittelpunktes. Dieser wurde nach langen Bemühungen von Huygens in dem eben dargelegten Sinne bestimmt. Auch Jacob Bernoulli hat nach einem mißlungenen Versuch die richtige Lösung gefunden.
Wir haben hiermit an der Allgemeinheit des Problems nichts geändert, da wir ja jeden beliebigen Anfangszustand (φ0, ω0) mittels Gl. (20.30) durch die Winkelgeschwindigkeit in der Tiefstlage charakterisieren können.
Die Bezeichnungen (Abkürzungen) sind in der Literatur nicht einheitlich.
Vorlesungen über die Prinzipe der Mechanik. Leipzig 1897.
Siehe § 27 und I. Szabó: Höhere Technische Mechanik, 2. Auf l., Berlin/ Göttingen/Heidelberg: Springer 1958.
Diese Zusammenhänge werden verwendet bei der (nichtlinearen Schwingungs-) Aufgabe 9 zu den §§ 23–24.
Seit 1595 „brütete“ Kepler - um sein eigenes Wort zu gebrauchen — mit der ganzen Kraft und Ausdauer seines genialen Geistes an dem quantitativen Aufbau des Kopernikanischen Weltsystems; 1609 publizierte er die beiden ersten Gesetze und erst 1619 das dritte.
Diese Behauptung war für die damalige Zeit ungeheuer kühn; galt es doch seit dem Altertum als eine „unumstößliche Wahrheit“, daß die Planeten sich nur in — der Natur eigentümlichen — Kreisbahnen bewegen können.
Das ist die Brennpunktsgleichung einer Ellipse in Polarkoordinaten.
Für die vielseitig tätige Genialität Hookes noch zwei Hinweise: Im Jahre 1665 schreibt er die prophetischen Worte: „Ich habe oft daran gedacht, daß es möglich sein müßte, eine künstliche, leimartige Masse zu finden, die jener Ausscheidung gleich oder gar überlegen ist, aus der die Seidenraupen ihren Kokon fertigen und die sich durch Düsen zu Fäden verspinnen läßt.“ Das ist der Grundgedanke der Chemiefasern, die — allerdings zweiundeinhalb Jahrhunderte später — die Textilindustrie so umwälzend beeinflußt haben! Im selben Jahre schreibt er, die mechanische Theorie der Wärme (also auch kinetische Gastheorie) vorwegnehmend: „Daß die Teilchen aller Körper, so fest sie auch sein mögen, doch vibrieren, dazu braucht es meines Erachtens keinen anderen Beweis als den, daß alle Körper einen gewissen Grad Wärme in sich haben und daß noch niemals ein absolut kalter Körper gefunden ist.“
Zu dieser Erkenntnis benötigte die Menschheit anderthalb Jahrtausende, wenn man in Betracht zieht, daß in der „Moralia“ (De facie quae in orbe lunae apparet) von Plutarch (46–120) festgestellt wird, daß der Mond durch den Schwung seiner Drehung genau so daran gehindert wird, auf die Erde zu fallen, wie ein Körper, der in einer Schleuder „herumgewirbelt“ wird; es bedurfte des Genies von Newton, um zu erkennen, was die „Schleuder“ bei den Planeten ist!
Der Name bringt den Sachverhalt zum Ausdruck, daß es sich hier nicht um wirkliche Kräfte, sondern um Zusatzglieder handelt, die hinzugefügt werden müssen, wenn wir das Newtonsche Grundgesetz für die am Körper wahrnehmbare Beschleunigung hinschreiben.
Siehe Beispiel in § 19.9, S. 213.
Siehe Aufg. 8 zu § 19 bis § 21.
Natürlich muß in diesem Falle die Kreiselachse im Fahrzeug fest gelagert sein. Das Gegenteil ist beim Kreiselkompaß der Fall, wo durch kardanische Aufhängung dafür gesorgt wird, daßß die für Navigationszwecke notwendige Richtung der Kreiselachse von der Schiffsbewegung nicht beeinflußt wird.
Weiteres über die Theorie des Kreisels siehe Klein-Sommerfeld: Theorie des Kreisels (Leipzig 1897); Grammel: Der Kreisel (Berlin/Göttingen/Heidelberg: Springer 1950); I. Szabó: Höhere Technische Mechanik, 2. Aufl., § 7 (Berlin/ Göttingen /Heidelberg: Springer 1958).
Hierüber in Hamel: Theoretische Mechanik. S. 72 und 629. Berlin 1948.
Dies tritt allerdings bei jeder Reibung ein, wenn man durch ein übermäßig großes Drehmoment dem Fahrzeug große Anfahrtsbeschleunigung erteilen will (s. Aufg. 5 zu § 19 bis § 22).
Siehe z. B. L. Hänert: Geschütz und Schuß. Berlin: Springer 1940; H. Athen: Ballistik. Quelle & Meyer 1941. 2 Siehe Fußnote auf S. 2.
Hierüber Ausführlicheres in: W. Haack: Vorlesungen uber ausgewanite Kapitel der Ballistik, Springer 1958, und I. Szabó: HöhereTechnische Mechanik, 2. Auf l., § 22. Springer 1958.
Wir haben hier also für die Herleitung der Bewegungsgleichung das zur Zeit t vorhandene Massensystem als ein abgeschlossenes System angesehen. Man kann auch, wenn auch etwas umständlicher, von dem zur Zeit t = 0 vorhandenen gesamten Massensystem ausgehen und hat dann den Vorteil, durch einen formalen Differentiationsprozeß zur Bewegungsgleichung zu kommen. Siehe hierzu Anhang Aufg. 10.
Wir wollen hierfür die Federmasse als vernachlässigbar klein ansehen, so daß die entsprechenden Energiebeiträge für die Feder in Fortfall kommen können.
An Literatur über nichtlineare Vorgänge seien angeführt: N. Minorsky: Introduction to Non-linear Mechanics, Ann. Arbor 1947; Th. V. Karman: The Engineer Grapples with Non-linear Problems, Bull. of the Am. Math. Soc., Vol. 46, august 1940; MC Lachlan: Ordinary Nor-linear Differential Equations, Oxford 1950; J. J. Stoker: Non-linear Vibrations, New York 1950; S. Lefschetz: Contribution to the Theory of Non-linear Oscillations, Princeton 1950; H. Kauderer: Nichtlineare Mechanik, Berlin/Göttingen/Heidelberg: Springer 1958. In diesen Werken weitere Literaturangaben.
Man bedenke, daß gemäß (23.102) dies auch in der linearisierten Theorie nicht zutrifft ! 3 Math. Ann. Bd. 95 (1926) S. 307.
Siehe F. Berger: Kraftverlauf beim Stoß. Braunschweig 1924.
Hierüber Weiteres: G. Hamel: Theoretische Mechanik. S. 395. Berlin 1948.
Insbesondere kann in (24.21) durch Verwendung einer unelastischen Pendelmasse (Sandsack) e = 0 gesetzt werden.
Dieses geht sofort aus dem während des Stoßvorganges angesetzten und längs der Stoßdauer t 0 ... t 1 nach der Zeit integrierten Schwerpunktsatz in tangentialer Richtung für die Pendelmasse hervor.
Man denke an den unangenehmen „Ruck“, den man empfindet, wenn man beispielsweise einen Radioapparat ins Nebenzimmer trägt und mit der Anschlußleitung an einer Türklinke hängenbleibt !
Die Durchbiegungen in der Lage 1 werden hierbei wegen der kleinen Stoßdauer gegenüber denjenigen in der Endlage 2 als vernachlässigbar klein angesehen.
Natürlich kann bei zeitabhängigen Strömungsvorgängen der Druck auch noch eine Funktion der Zeit werden, jedoch ist auch in diesem Falle der Flüssigkeitsdruck unabhängig von der Richtung.
Eine besonders schöne Veranschaulichung dieses Sachverhaltes ist die folgende: Man denke sich einen großen Saal, in dem die Temperatur örtlich und zeitlich veränderlich ist; ein an einem festen Ort befindliches Thermometer zeigt die lokale Änderung der Temperatur, während ein im Saal herumgetragenes die substantielle abzulesen gestattet.
Durch die ersteren wird der Geschwindigkeits- und Druckzustand zur Zeit t = 0 festgelegt, während sich die zweiten i. allg. auf die zwischen Flüssigkeit und Behälterwänden bzw. Luft bestehenden Bedingungen beziehen.
In diesem Werk — im 10. Abschnitt — finden sich auch die ersten grundlegenden Betrachtungen zur kinetischen Gastheorie.
Siehe z. B.: Kaufmann: Technische Hydro- und Aeromechanik. Berlin Göttingen/Heidelberg: Springer 1954 und Kozeny: Hydraulik. Wien: Springer 1953.
In der Hydrostatik inkompressibler Flüssigkeiten, besteht kein Unterschied zwischen idealer und zäher Flüssigkeit (siehe auch § 25.6) entsprechend der Tatsache, daß bei zähen Flüssigkeiten die dort auftretenden Schubspannungen proportional dem Geschwindigkeitsgefälle sind [siehe auch Formel (25.35)]. In ruhenden zähen Flüssigkeiten gibt es also, ebenso wie bei der idealen Flüssigkeit, keine Schubspannungen.
Bei Flüssigkeitsdruckbelastung gekrümmter Flächen entsteht neben einer resultierenden Kraft i. allg. auch ein Moment. Ausnahmen bilden u. a. Kreiszylinder-, Kugel- und Kegelflächen sowie sämtliche Zylinderflächen mit stehender Zylinderachse (s. a. Aufg. 11 zu § 25).
Diese Erscheinung wird als hydrostatisches Paradoxon bezeichnet.
In seiner Schrift „De motu gravium naturaliter accelerato“ (1644) korrigierte er die falsche Behauptung des Castelli (1576–1644) — der ebenfalls ein Schüler Galileis war —, daß die Ausflußgeschwindigkeit des Wassers proportional zur Tiefe sei, in der Weise, daß er zum richtigen Resultat (25.25) zwar nicht formelmäßig, jedoch an Hand folgender sinnreicher Versuchsanordnung gelangte: Am unteren Rande eines mit Wasser gefüllten Gefäßes setzte er an der Ausflußöffnung einen rechtwinkligen Rohrstutzen so an, daß das freie Ende senkrecht nach oben zeigte. Der durch den Rohrstutzen austretende und lotrecht hochsteigende Wasserstrahl erreichte nach seinen Beobachtungen annähernd die Höhe des Flüssigkeitsspiegels im Gefäß. Torricelli folgerte hieraus richtig, daß die Austrittsgeschwindigkeit der Wasserteilchen ebenso groß sein müßte wie diejenige, die sich ergeben würde, wenn die Teilchen von der Spiegelhöhe frei herabfallen würden.
Die Geschwindigkeitsverteilung in unmittelbarer Wandnähe ist analytisch äußerst schwer zu erfassen und bildet den Gegenstand der sog. „Grenzschichttheorie“ (siehe: I. Szabó: Höhere Technische Mechanik, 2. Aufl., § 20.3. Berlin/ Göttingen/Heidelberg: Springer 1958). Hierüber ausführlich bei H. Schlichting, Grenzschichttheorie, Karlsruhe 1950.
Euler kann also durch seine vor 200 Jahren in den Berichten der Königl. Akad. der Wiss. zu Berlin (1754) veröffentlichte Arbeit als der Begründer der modernen Turbinentheorie angesehen werden. Bei der Zerlegung der Beschleuni-gung eins Flüssigkeitsteilchens kommt er schon zu dem unter Coriolisbeschleunigung (§ 19.9) bekannten Glied. Die betreffende Arbeit von Euler ist in Ostwalds Klassiker Nr. 182 zu finden.
In diesem Gesprächspartner — neben Sagredo und Simplicio — hat sich Galilei selbst sprechen lassen.
Spezialfälle der allgemeinen mechanischen oder dynamischen Ähnlichkeit sind die kinematische Ähnlichkeit und die statische Ähnlichkeit zweier Vorgänge. Da wir es in der Kinematik nur mit solchen Größen zu tun haben, die sich aus den Grundeinheiten der Länge und der Zeit aufbauen, genügt es, für die kinematische Ähnlichkeit zweier Vorgänge die Existenz zweier Grundmaßstäbe A und τ zu fordern, und entsprechend bedarf es, wenn zwei Vorgänge statisch ähnlich sein sollen, eingedenk der Tatsache, daß wir sämtliche statischen Vorgänge als zeitunabhängig vorausgesetzt haben, der Existenz zweier konstanter Maßstabfaktoren A und x.
Vorgänge dieser Art finden sich beispielsweise im Wasserbau bei Überfallwehren sowie beim Abfluß mit freier Oberfläche, im Schiffbau und im Maschinenbau.
Vorgänge dieser Art liegen bei der Strömung in Rohren sowie bei der Gerinneströmung vor.
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Szabó, I. (1959). Einführung in die Dynamik. In: Einführung in die Technische Mechanik. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-01310-6_4
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