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Notes
- 1.
Genau genommen könnte man auch wieder das Schachbrett auslegen, denn es ist ja nicht verlangt, dass alle Fliesenformen verwendet werden müssen.
- 2.
Wenn wir an das Zusammenlegen keine weiteren Bedingungen stellen, ist das Parkettieren kein Problem. Man könnte zum Beispiel je zwei \(D^{1}_{k}(a)\)-Dreiecke zu einem Parallelogramm aneinanderlegen und dann damit ganz einfach eine Parkettierung herstellen.
- 3.
Die Möglichkeit, die Bedingungen so wie bei den obigen Robinsonkacheln durch geeignet gezackte Dreiecksseiten zu erzwingen, scheidet aus. Denn nur bei einer gezackten Kante wird das Anlegen einer umgeklappten Fliese des gleichen Typs nie möglich sein.
- 4.
Das ist also genau so wie bei Typ 1. Hier darf man hellgrau an dunkelgrau und hellrot an dunkelrot anlegen.
- 5.
Hier muss man sich daran erinnern, dass \(\tau^{2}=\tau+1\) gilt.
- 6.
Der Fachausdruck für dieses Verfahren ist Deflation.
- 7.
Achtung: Das wäre dann die Ansicht von hinten!
- 8.
Es ist an dieser Stelle wichtig, dass wir nicht versehentlich Vorder- und Rückseite vertauschen: Wir müssen \(D(1,0)\) umdrehen und \(D(1,1)\) dann anlegen, nicht umgekehrt!
- 9.
Wenn man es mathematisch etwas strenger machen möchte, muss man bemerken, dass \(V\) als Vereinigung von nichtüberlappenden Dreiecken, die in nur zwei Versionen zur Verfügung stehen, notwendig abgeschlossen ist. Außerdem ist \(V\) konvex, weil in jedem Schritt immer größere Dreiecke erzeugt wurden. Damit gibt es zu \(x\) einen Punkt bester Approximation in \(V\).
- 10.
Haben wir uns für ein von hinten zu sehendes \(D^{1}_{g}\) entschieden, so betrachten wir die Spiegelung von \(P\): die Parkettierung wird also von hinten angesehen. Die ist „gleichwertig“ zu \(P\), mehr dazu in Abschnitt 5.
- 11.
Anders ausgedrückt: Mindestens bei \(D\) muss umgeklappt werden, um \(P\) zu erhalten.
- 12.
Genau genommen müsste man das Dreieck an der Spitze des Segments extra behandeln, die hier verwendeten Techniken führen aber auch hier schnell zum Ziel. Insbesondere wird hier noch einmal Fall 3 des Hilfssatzes wichtig. Dieses Ergebnis garantiert, dass es an der Spitze eines \(36^{\circ}\)-Segments garantiert durch Spiegelung weitergeht, wenn die Spitze durch ein \(D^{1}_{k}\)-Dreieck gebildet wurde.
- 13.
Also durch Drehungen, Verschiebungen, Spiegelungen oder eine Kombination dieser Operationen.
- 14.
Bei zehn- und zweiteiligen Parkettierungen ist eigentlich noch eine kleine Zusatzüberlegung erforderlich.
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Behrends, E. (2019). Penroseparkettierungen. In: Parkettierungen der Ebene. Springer Spektrum, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-658-23270-2_7
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DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-658-23270-2_7
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Publisher Name: Springer Spektrum, Wiesbaden
Print ISBN: 978-3-658-23269-6
Online ISBN: 978-3-658-23270-2
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