Zusammenfassung
In diesem Kapitel wird zunächst das Marktmodell vorgestellt, das den Regressionszusammenhang zwischen der erwarteten Rendite einer risikobehafteten Anlage und den Renditen des Marktportfolios beschreibt. Mit dem Marktmodell, das ein Einfaktormodell darstellt, lässt sich – wie mit der Portfoliotheorie von Markowitz – die Effizienzkurve erstellen. Der Hauptunterschied besteht darin, dass beim Marktmodell wesentlich weniger Parameter benötigt werden. Danach wird das Capital Asset Pricing Model (CAPM) erläutert. Das CAPM ist das Kernstück der Finanzmarkttheorie. Mit dem Modell lässt sich eine risikogerechte erwartete Rendite bestimmen. Da das CAPM ein Gleichgewichtsmodell ist, kann damit untersucht werden, ob die Anlagen richtig bewertet sind. In einer aktiven Strategie werden unterbewertete Investments gekauft und überbewertete Anlagen verkauft. Darüber hinaus kann das CAPM für die Performancemessung und die Bestimmung des Diskontsatzes in der Aktien- und Unternehmensbewertung sowie in der Analyse von Investitionsprojekten (Corporate Finance) eingesetzt werden. Obwohl das CAPM empirischen Tests nicht vollständig standhält, ist es in der Praxis weit verbreitet. Die hohe Akzeptanz ist auf die klare Aussage des Modells, auf die angemessenen Ergebnisse bei wichtigen Fragestellungen und nicht zuletzt auf die Einfachheit bei der Anwendung zurückzuführen.
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Notes
- 1.
Ein Portfolio, das sich aus traditionellen Anlagen zusammensetzt, besitzt drei Anlageklassen: Geld, Aktien und Anleihen. Vgl. Abschn. 16.2.4.
- 2.
Vgl. Abschn. 3.4.
- 3.
Vgl. Chan et al. 1999: On Portfolio Optimization: Forecasting Covariances and Choosing the Risk Model, S. 937 ff. Die zukünftigen Varianzen können mit historischen Varianzen gut geschätzt werden. Dies ist bei der Schätzung zukünftiger Kovarianzen aufgrund von vergangenen Daten nicht der Fall.
- 4.
Vgl. Chan et al. 1999: On Portfolio Optimization: Forecasting Covariances and Choosing the Risk Model, S. 937 ff. Untersucht wurden monatliche Renditen von US-Aktien während der Zeitperiode von 1973 bis 1997. Die Studie zeigt, dass die Korrelation zwischen vergangenen und zukünftigen Stichprobe-Kovarianzen bei 0,34 über eine Zeitdauer von 36 Monaten liegt, während die Korrelation lediglich bei 0,18 über eine Zeitspanne von 12 Monaten ist.
- 5.
Für diesen Ansatz zur Verminderung des Schätzfehlers (Shrinkage Estimator) vgl. z. B. Michaud 2008: Efficient Asset Management, S. 74 ff.
- 6.
Vgl. Abschn. 4.4.4.
- 7.
- 8.
Multifaktorenmodelle werden in Kap. 5 beschrieben.
- 9.
Bei der Methode der kleinsten Quadrate werden die vertikalen Abstandsquadrate zwischen beobachteten Werten und den diesbezüglichen Werten auf der Regressionsgeraden, d. h. die Residuenabweichungen (\(\sum\upvarepsilon_{i}^{2}\)), minimiert.
- 10.
Bei einem Overnight Index Swap handelt es sich um einen Zinssatzswap, bei dem ein fester Zinssatz periodisch (z. B. monatlich, quartalsweise, jährlich) gegen einen geometrischen Durchschnitt von Tagesgeldzinssätzen (Overnight Rates) getauscht wird. Der OIS-Swapsatz stellt im Vergleich zum LIBOR-Swapsatz eine bessere Approximation des risikolosen Zinssatzes dar. Vgl. Abschn. 9.3.6.2. Beim TOIS werden die Zinssätze für ungesicherte Ausleihungen an erstklassige Kreditinstitute an jedem Geschäftstag in Zürich der Cosmorex AG gemeldet, die dann den durchschnittlichen Tagesgeldzinssatz anhand des arithmetischen Mittels bestimmt.
- 11.
Für die Regressionsanalyse kann man auch stetige Renditen verwenden. Vgl. Abschn. 2.3.1.
- 12.
Für die Konstruktion der Regressionsgerade mit Microsoft Excel 2010 vgl. Mondello 2015: Portfoliomanagement: Theorie und Anwendungsbeispiele, S. 371 ff.
- 13.
Der „Fehler der Schätzung“ wäre 0, wenn die Regressionsgerade genau durch die beobachteten Y-Werte verlaufen würde.
- 14.
Die Quadratsumme der Regressionsabweichungen kann mit folgender Formel berechnet werden: \({\text{SSR}}=\sum_{\mathrm{t}=1}^{\mathrm{T}}\left(\mathrm{Y}_{\mathrm{t}}^{\prime}-\overline{\mathrm{Y}}\right)^{2}\).
- 15.
Totale Varianz von Novartis \(=\upsigma_{\mathrm{Novartis}}^{2}=\upbeta_{\mathrm{Novartis}}^{2}\upsigma_{\mathrm{SMI}}^{2}+\upsigma_{\upvarepsilon,\mathrm{Norvatis}}^{2}\)
- 16.
Bei einem einseitigen Test entspricht der kritische t-Wert von 2 einem Signifikanzniveau von 2,5 % (bei ungefähr 60 Freiheitsgraden). Bei einem zweiseitigen Test und einem Signfikanzniveau von 5 % beträgt der kritische t-Wert ebenfalls 2.
- 17.
Um die Nullhypothese zu verwerfen, müssen sich die Regressionsparameter signifikant von 0 unterscheiden, die t-Statistik muss möglichst groß und der P-Wert muss möglichst klein sein.
- 18.
Vertrauensintervall für \(\mathrm{b}=\upbeta\pm\mathrm{t}_{\mathrm{T}-2}\mathrm{s}_{\upbeta}\).
- 19.
Für die Konstruktion der Effizienzkurve nach dem Marktmodell in Microsoft Excel 2010 vgl. Mondello 2015: Portfoliomanagement: Theorie und Anwendungsbeispiele, S. 379 ff.
- 20.
- 21.
Für die Herleitung der Varianz eines gleich gewichteten Portfolios vgl. Abschn. 3.6.
- 22.
- 23.
Ein gut diversifiziertes Portfolio verfügt über kein unternehmensspezifisches Risiko, sodass die Varianz der Residualrenditen null beträgt (\(\upsigma^{2}_{\upvarepsilon,i}=0\)). Das Risiko einer gut diversifizierten Anlagekombination ist demnach: \(\upsigma_{\mathrm{P}}=\sqrt{\upbeta_{\mathrm{P}}^{2}\upsigma_{\mathrm{M}}^{2}}=\upbeta_{\mathrm{P}}\upsigma_{\mathrm{M}}\).
- 24.
Für das Kapitalmarktlinienmodell vgl. Abschn. 3.10.
- 25.
Vgl. z. B. Klemkosky und Martin 1975: The Adjustment of Beta Forecasts, S. 1123 ff.
- 26.
Vgl. Blume 1971: On the Assessment of Risk, S. 8 ff.
- 27.
Für das Rendite-Risiko-Optimierungsverfahren vgl. Abschn. 3.4.
- 28.
Für die Konstruktion der Effizienzkurve wurden die monatlichen Renditen in jährliche Renditen umgerechnet.
- 29.
- 30.
Portfolios mit einer bedeutenden Short-Position sind für die meisten Investoren nicht umsetzbar, weil einerseits Restriktionen in der Anlagepolitik solche Positionen verbieten können und andererseits ein unlimitiertes Verlustpotential besteht, da keine Preisobergrenze existiert.
- 31.
Insbesondere wird der statistische Schätzfehler der erwarteten Rendite korrigiert. Die Parameter können mit einem auf dem Bayes’schen Theorem basierenden Ansatz angepasst werden. Vgl. hierzu das Black/Litterman-Modell.
- 32.
Vgl. Michaud 2008: Efficient Asset Management, S. 42 ff. Zum Beispiel kann man eine Region von effizienten Portfolios definieren, die bei einem gegebenen Konfidenzniveau statistisch äquivalent sind. Fällt ein Portfolio in diese Region, ist es effizient und muss nicht umgeschichtet werden.
- 33.
Da es sich bei der Methode der simulierten effizienten Portfolios um einen Prozess der Durchschnittsbildung handelt (Resampled Efficient Portfolios), ist die daraus hervorgehende Effizienzkurve stabil. Kleine Änderungen der Parameter führen lediglich zu kleinen Änderungen der effizienten Portfolios.
- 34.
Vgl. Black und Litterman 1992: Global Portfolio Optimization, S. 28 ff.
- 35.
Das Portfoliomodell von Markowitz aus dem Jahr 1952 hat den Grundstein zur modernen Portfoliotheorie gelegt. Rund 12 Jahre später wurde die Theorie durch die Arbeiten von Wiliam Sharpe, John Lintner und Jan Mossin zum Capital Asset Pricing Model (CAPM) weiterentwickelt. Vgl. Sharpe 1964: Capital Asset Prices: A Theory of Market Equilibrium Under Conditions of Risk, S. 425 ff.; Lintner 1965: The Valuation of Risk Assets and the Selection of Risky Investments in Stock Portfolios and Capital Budgets, S. 13 ff.; Mossin 1966: Equilibrium in a Capital Asset Market, S. 768 ff.
- 36.
Vgl. Abschn. 2.4.2.1. Empirische Studien zeigen, dass entwickelte Länder eine halbstrenge Form der Informationseffizienz aufweisen (und nicht eine strenge Form), die von Marktpreisanomalien geprägt wird.
- 37.
Für die Auflösung der Annahmen im CAPM vgl. Abschn. 4.4.6.
- 38.
Die Bewegungen des risikolosen Zinssatzes während der Periode der Stichprobe fallen im Vergleich zu den Variationen der Marktrenditen sehr gering aus. Daher hat die Volatilität des risikolosen Zinssatzes nur einen geringen Einfluss auf den geschätzten Wert der Steigung (\(\upbeta\)).
- 39.
Das Beta lässt sich aus Stichproben mit historischen Daten berechnen. Dabei werden die Kovarianz bzw. Korrelation und die Standardabweichungen mithilfe der Formeln aus Kap. 3ermittelt.
- 40.
Vgl. Abschn. 3.8.
- 41.
Für das Marktmodell vgl. Abschn. 4.2. Im CAPM wird die Berechnung des Betas mit der Regression zwischen den Renditen und nicht mit den über dem risikolosen Zinssatz liegenden Renditen der Aktie und des Marktes durchgeführt.
- 42.
Für die Methode der kleinsten Quadrate vgl. Abschn. 4.2.3.
- 43.
Die Regressionsgerade verläuft nach der Methode der kleinsten Quadrate durch das arithmetische Mittel der X-Werte (\(\overline{\mathrm{X}}\)) und das arithmetische Mittel der Y-Werte (\(\overline{\mathrm{Y}}\)). Der X-Wert entspricht der unabhängigen Variablen (rM), während der Y-Wert die abhängige Variable (ri) reflektiert. Die Funktion der Regressionsgeraden ist: \(\mathrm{Y}^{\prime}=\mathrm{a}+\mathrm{b}\mathrm{x}\). Der Regressionskoeffizient b lässt sich wie folgt berechnen: \(\mathrm{b}=\frac{\sum\left[\left(\mathrm{X}-\overline{\mathrm{X}}\right)\left(\mathrm{Y}-\overline{\mathrm{Y}}\right)\right]}{\sum\left(\mathrm{X}-\overline{\mathrm{X}}\right)^{2}}=\dfrac{\mathrm{Cov}_{\mathrm{X},\mathrm{Y}}}{\upsigma_{\mathrm{X}}^{2}}\).
- 44.
Das Beta besitzt wie jede andere statistisch geschätzte Größe auch einen statistischen Fehler. Die Abweichung des Betas vom wahren Wert kann über ein Konfidenzintervall angegeben werden. Vgl. Abschn. 4.2.3.
- 45.
Der Determinationskoeffizient liegt bei 0,3789. Demnach werden durch die Veränderung des SMI rund 38 % der Renditestreuung der Novartis-Aktien erklärt. Die Steigung der Regressionsgeraden weist eine t-Statistik von 5,948 auf und ist daher statistisch signifikant. Vgl. Abschn. 4.2.3.
- 46.
Vgl. Abschn. 4.2.5.
- 47.
Dieser Nicht-Handel-Fehler ergibt sich, weil die Aktienrenditen 0 % sind, wenn sie nicht gehandelt werden. Demgegenüber hat sich der Aktienmarkt in dieser Zeit verändert, da Aktien auf dem Markt gekauft und verkauft wurden. Eine solche Datenreihe führt zu einem niedrigeren Korrelationskoeffizienten zwischen den Aktien- und den Marktrenditen, was ein niedrigeres Beta zur Folge hat.
- 48.
Es gibt Aktienindizes, die von einigen wenigen Aktien dominiert werden. So wird beispielsweise der DAX von den 8 Aktien Bayer, Siemens, Daimler, SAP, BASF, Allianz, Deutsche Telekom und BMW beherrscht, die Anfang Januar 2015 rund 59 % des Indexes ausmachten. Die restlichen 41 % verteilten sich auf die übrigen 22 DAX-Titel. Der SMI wird lediglich von den 3 Aktien Novartis, Nestlé und Roche dominiert, die zusammen rund 60 % des Indexwerts bilden. Die übrigen 17 Titel im SMI machen rund 40 % der Marktkapitalisierung aus. Wird ein Aktienindex nur durch wenige Aktien geprägt, so stellen die berechneten Betas eine schlechte Marktrisikogröße dar. Diejenigen Aktien, die den Index beherrschen, weisen ein Beta von gegen 1 auf. Alle übrigen Beteiligungspapiere besitzen stark variierende Betas. Die Summe der gewichteten Betas von sämtlichen Aktien im Index ist 1.
- 49.
So kann beispielsweise ein Beta, das mit täglichen Renditen berechnet wird, wesentlich von einem Beta abweichen, das von wöchentlichen oder monatlichen Kursbewegungen abgeleitet wird.
- 50.
\(\mathrm{w}_{1}\mathrm{r}_{\mathrm{F}}+\mathrm{w}_{2}\mathrm{r}_{\mathrm{F}}=\mathrm{r}_{\mathrm{F}}\left(\mathrm{w}_{1}+\mathrm{w}_{2}\right)=\mathrm{r}_{\mathrm{F}}\); weil \(\mathrm{w}_{1}+\mathrm{w}_{2}=1\).
- 51.
Vgl. Abschn. 6.3.
- 52.
Die Kritik von Roll (Roll’s Critique) zeigt die Schwierigkeiten, die beim Testen des CAPM entstehen, weil das Marktportfolio nicht beobachtet werden kann. Vgl. Roll 1977: A Critique of the Asset Pricing Theory’s Tests: Part I: On Past and Potential Testability of the Theory, S. 129 ff.
- 53.
Das Marktportfolio umfasst alle handelbaren risikobehafteten Anlagen wie Liegenschaften, Edelmetalle, Sammlungen von Briefmarken, Juwelen und andere werthaltige Anlagen.
- 54.
Der S&P 500 stellt einen guten Indikator für die Entwicklung des gesamten US-Aktienmarktes dar, weil der Index rund 80 % der Marktkapitalisierung von US-Aktien wiedergibt.
- 55.
Vgl. z. B. Levy 1971: On the Short-Term Stationarity of Beta Coefficients, S. 55 ff.
- 56.
Für die Korrektur des Betas im Marktmodell vgl. Abschn. 4.2.5.
- 57.
Vgl. z. B. Baesel 1974: On the Assessment of Risk: Some Further Considerations, S. 1491 ff.
- 58.
Vgl. Roenfeldt et al. 1978: Further Evidence on the Stationarity of Beta Coefficients, S. 117 ff.
- 59.
Vgl. Carpenter und Upton 1981: Trading Volume and Beta Stability, S. 60 ff.
- 60.
Vgl. z. B. Sharpe und Cooper 1972: Risk-Return Classes of New York Stock Exchange Common Stocks: 1931–1967, S. 46 ff.
- 61.
Vgl. Fama und MacBeth 1973: Risk, Return and Equilibrium: Empirical Tests, S. 453 ff.
- 62.
Vgl. McEnally 1974: A Note on the Return Behavior of High Risk Common Stocks, S. 199 ff.
- 63.
Vgl. Abschn. 2.4.2.2.
- 64.
Vgl. Bhandari 1988: Debt/Equity Ratio and Expected Common Stock Returns: Empirical Evidence, S. 507 ff.
- 65.
Vgl. Fama und French 1992: The Cross Section of Expected Stock Returns, S. 427 ff.
- 66.
Vgl. Dennis et al. 1995: The Effects of Rebalancing on Size and Book-to-Market Ratio Portfolio Returns, S. 47 ff. Diese Studie zeigt, dass die erwartete Aktienrendite von der Größe des Unternehmens (Small Size Effect) und vom Buchwert-Kurs-Verhältnis abhängt. Dieser Zusammenhang ist nach wie vor vorhanden, wenn Transaktionskosten von 1 % und eine jährliche Umschichtung der Aktienportfolios berücksichtigt werden.
- 67.
Vgl. z. B. Kothari et al. 1995: Another Look at the Cross Section of Expected Stock Returns, S. 185 ff. Im Gegensatz zu Fama und French verwenden die Autoren dieser Studie jährliche und nicht monatliche Renditen, um das Handelsproblem zu umgehen. Sie finden einen statistisch signifikanten Zusammenhang zwischen erwarteter Rendite und Beta. Der statistisch signifikante Zusammenhang zwischen erwarteter Rendite und Buchwert-Kurs-Verhältnis hingegen kann über eine längere als zwischen 1963 und 1990 liegende Zeitperiode nicht bestätigt werden.
- 68.
Vgl. Abschn. 5.5.
- 69.
Vgl. z. B. Malkiel 1995: Returns from Investing in Equity Mutual Funds 1971 to 1991, S. 549 ff.
- 70.
Vgl. Abschn. 3.10.
- 71.
Vgl. Black 1972: Capital Market Equilibrium with Restricted Borrowing, S. 444.
- 72.
Vgl. Abschn. 4.4.5.
- 73.
- 74.
Vgl. Stambaugh 1982: On the Exclusion of Assets from Tests of the Two-Parameter Model: A Sensitivity Analysis, S. 237 ff.
- 75.
Vgl. Treynor 1965: How to Rate Management of Investment Funds, S. 63 ff.
- 76.
Rendite-Risiko-Gleichung des CAPM: \(\mathrm{E}(\mathrm{r}_{\mathrm{P}})=\mathrm{r}_{\mathrm{F}}+\left[\mathrm{E}(\mathrm{r}_{\mathrm{M}}-\mathrm{r}_{\mathrm{F}})\right]{\upbeta}_{\mathrm{P}}\). Subtrahiert man von dieser Gleichung den risikolosen Zinssatz (rF) und dividiert die Gleichung durch das Beta des Portfolios (\({\upbeta}_{\mathrm{P}}\)), gelangt man zu (4.39).
- 77.
Vgl. Jensen 1968: The Performance of Mutual Funds in the Period 1945–1964, S. 397.
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