Die Treppennormalform und der Rang von Matrizen

Zusammenfassung

In diesem Kapitel entwickeln wir ein systematisches Verfahren, mit dem jede Matrix, die über einem Körper definiert ist, in eine spezielle Form transformiert werden kann, die wir die Treppennormalform nennen. Die Transformation wird erreicht durch Linksmultiplikation der gegebenen Matrix mit sogenannten Elementarmatrizen. Ist die gegebene Matrix invertierbar, so ist ihre Treppennormalform die Einheitsmatrix und die Inverse kann anhand der Elementarmatrizen einfach berechnet werden. Für eine nicht-invertierbare Matrix ist die Treppennormalform in einem gewissen Sinne „möglichst nahe“ an der Einheitsmatrix. Diese Form motiviert den Begriff des Rangs von Matrizen, den wir in diesem Kapitel ebenfalls einführen und der später noch häufig auftreten wird.