Wohlgeordnete Mengen und das Auswahlaxiom

Zusammenfassung

Die gegenwärtige Art und Weise Mathematik zu betreiben ist ohne Mengen nicht denkbar, da die Mengenlehre den begrifflichen Rahmen darstellt. Normalerweise wird Mengenlehre, so wie auch in diesem Buch, naiv betrieben. Dies erlaubt Antinomien, wie beispielsweise die Menge aller Mengen, die sich nicht selbst als Element enthalten. E. Zermelo kannte diese bereits 1901. Um Antinomien zu verhindern, wurde die (typfreie) axiomatische Mengenlehre begründet. Das entsprechende Axiomensystem geht auf E. Zermelo und A. Fraenkel zurück. Ein entscheidendes Axiom ist dabei das Auswahlaxiom. Obwohl in seiner Formulierung kein mit Ordnungen verwandter Begriff vorkommt, hat es viel mit speziellen Ordnungen zu tun. Dies wird am Anfang dieses Kapitels gezeigt. Aufgrund dieser Resultate sind wir dann in der Lage, für bisher unbewiesene Sätze, wie den Darstellungssatz von M.H. Stone und den Satz von A. Davis, die Beweise zu erbringen.