Erreichbarkeits- und Zusammenhangsfragen

Zusammenfassung

Bei gerichteten Graphen g = (V,R) mit Knotenmenge V und Pfeilmenge (Relation) R : V ↔ V sind sehr viele Fragestellungen mit den beiden Begriffen ”Weg“ und ”Erreichbarkeit“ verbunden. Dabei ist ein Weg (manchmal in der Literatur auch Pfad genannt) in dem gerichteten Graphen g eine nichtleere, endliche Sequenz 〈x ₀, ... , x _n〉 von Knoten x _i ∈ V , so daß R _xixi+1 für alle i mit 0 ≤ i ≤ n−1 gilt, und ein Knoten y ∈ V ist in g von einem Knoten x ∈ V aus erreichbar, wenn es einen Weg mit erstem (d.h. Anfangsknoten) x und letztem (d.h. Endknoten) y gibt. Die Anzahl der Pfeile 〈x _i , x _i+1〉 eines Wegen wird seine Länge genannt. In diesem Kapitel studieren wir einige der eben erwähnten Fragen mit relationenalgebraischen Mitteln. Zuerst behandeln wir Hüllen von Relationen, welche genau die Ja/Nein-Frage der Erreichbarkeit beschreiben, und entwickeln einige Hüllenalgorithmen. Dann befassen wir uns mit Algorithmen zur Bestimmung der Menge der von einem Knoten bzw. einer Menge von Knoten aus erreichbaren Knoten. Inhalt des dritten Abschnitts sind progressiv-endliche Relationen und Tests auf Kreisfreiheit. Der letzte Abschnitt dieses Kapitels ist schließlich noch Algorithmen zur Bestimmung von transitiven Reduktionen von Relationen (gewissermaßen den Gegenstücken der Hüllen) und von gerichteten spannenden Wurzelbäumen von gerichteten Graphen gewidmet, also Objekten, die ebenfalls eng mit Wegen und Erreichbarkeit in Verbindung stehen.