Zusammenfassung
„ ... Die Variationsrechnung geht ... den umgekehrten Weg wie die Differentialgeometrie. Während die Differentialgeometrie die Umgebungseigenschaften zugrunde legt und aus ihnen Aussagen über den Gesamtverlauf eines Gebildes herleitet, werden in der Variationsrechnung Umgebungseigenschaften hergeleitet aus solchen Eigenschaften, die dem Gebilde als Ganzem zukommen.“
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Anmerkungen
Zu Kapitel IX [§ 1]
Siehe insbesondere die Abhandlungen des Archimedes in „Archimedes Werke“ von Sir Thomas Heath, deutsch herausgeg. von Fritz Kliem, Berlin 1914, vor allem die Abhandlung „Die Sandrechnung“ und die höchst eigenartige Begründung der Hydrostatik in „Über schwimmende Körper“.
Riemann, B. : Über die Hypothesen, welche der Geometrie zugrunde liegen. Neu herausgeg. und erläutert von H. Weyl. Berlin : Springer 1919.
Ja, noch mehr. In der einheitlichen Feldtheorie muß Finslersche Geometrie verwendet werden. Vgl. etwa : Tonnelat, M. A. : „La théorie du champs unifié d’Einstein et quelques des ses dévelopments“. Paris : Gauthier-Villars 1955, S. 5. (+) Die Zitate sind den S. 12 und 19/20 des in (**) genannten Werkes entnommen. (°) Vgl. auch
Koschmieder, L. : Die neuere formale Variationsrechnung. Jber. dtsch. Math.-Ver. 40, 109–132 (1931).
(°°) Rund, H. : The differential geometry of Finsler spaces. In : Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Bd. 101. Berlin-Göttingen-Heidelberg: Springer 1959.
Für die Arbeiten der im folgenden genannten Autoren darf auf die diesem Werk beigegebene reichhaltige Bibliographie verwiesen werden.
(°°°) Pick, G. : Natürliche Geometrie ebener Transformationsgruppen. Sitzgsber. Wien. Akad. 115, IIa, 130 ff. (1906).
Zu Kapitel IX [§ 2]
* Die hiemit gegebene Kennzeichnung der Riemannschen Geometrie mag vielleicht auch einen Hinweis für Versuche zur Klärung der Bedeutung der Riemannschen Metrik in der Physik beinhalten. Man vergleiche zu der hier vorliegenden Problemstellung: Weizsäcker, F. C. v. : Einige Fragen über die Rolle der pythagoreischen Metrik in der Physik. Z. Naturforsch. 7a, 141 (1952).
Laugwitz, D. : Zur Rolle der pythagoreischen Metrik in der Physik. Z. Naturforsch. 9a, 827–832 (1954).
Von den Forderungen, auf die Laugwitz die Riemannsche Metrik gegründet wissen will, heben wir insbesondere sein Isotropiepostulat hervor: „alle Richtungen sind geometrisch gleichwertig“. Vom Standpunkt der Finslerschen Geometrie heißt dies : Man fordert zunächst f= const. Wegen Gleichung (17) muß aber die Konstante Null sein, wenn die Indikatrix eine geschlossene Kurve sein soll.
Zu Kapitel IX [§ 4]
* Wir verweisen auf die Winkeldefinition, die P. Finsler selbst in seiner in § 1 angeführten Dissertation gegeben hat, die als natürliche Verallgemeinerung der auf Längenmessung zurückgeführten Winkelmessungen in der elementaren Trigonometrie aufgefaßt werden kann. Ferner auf den in meiner Arbeit :
Funk, P. : Beiträge zur zweidimensionalen Finslerschen Geometrie. Mh. Math. Wien 52, 194–216 (1948), angegebenen Winkelbegriff von Carathéodory.
Zu Kapitel IX [§ 8]
Vgl. z. B.
Hilbert, D., u. S. Cohn-Vossen : Anschauliche Geometrie. In: Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Bd. 37, S. 86. Berlin : Springer 1932.
(* *)Weitere geometrische Deutungen des Krümmungsmaßes vgl.: Berwald, L.: Über Finslersche und Cartansche Geometrie. I. Geometrische Erklärungen der Krümmung und des Hauptskalars eines zweidimensionalen Finslerschen Raumes. Mathematica, Vol. XVII, S. 34— 58. Timisoara 1941.
Duschek, A., u. W. Mayer: Zur geometrischen Variationsrechnung; zweite Mitteilung : Ober die zweite Variation des eindimensionalen Problems. Mh. Math. Phys. 40, 294–308 (1933).
Funk, P.: Über zweidimensionale Finslersche Räume, insbesondere über solche mit geradlinigen Extremalen und positiver konstanter Krümmung. Math. Z. 40, 586— 593 (1935).
Vgl. ferner: Berwald, L.: On the projective geometry of path. Ann. of Math. 37, 879— 898 (1936).
Berwald, L.: Über Systeme von gewöhnlichen Differentialgleichungen zweiter Ordnung, deren Integralkurven mit dem System der geraden Linien topologisch äquivalent sind. Ann. of Math. 48, 193— 215 (1947).
Berwald, L.: Diese letzten beiden Arbeiten geben auch einen übersichtlichen Einblick und Angaben über die hierher gehörenden Arbeiten über die Wegegeometrie (O. Veblen, T. Y. Thomas, J. Douglas, H. Weyl, M. S. Knebelman, A. Winternitz, D. D. Kosambi, J. H. C. Whitehead, E. Bortolotti, V. Hlavaty u. a.).
Zu Kapitel IX [§ 9]
Berwald, L.: On Finsler and Cartan geometries Iii. Two dimensional Finsler spaces with rectilinear extremals. Ann. of Math. 42, 84–112 (1941).
Funk, P.: Beiträge zur zweidimensionalen Finslerschen Geometrie. Mh. Math. 52, 194–216 (1948).
(* *)Im vorliegenden Fall kann die Jacobische Identität einfach als formale Rechenvorschrift entsprechend der angeschriebenen Formel aufgefaßt werden, deren Richtigkeit sich unmittelbar daraus ergibt, daß jedes Glied doppelt — und zwar einmal mit positivem und einmal mit negativem Vorzeichen versehen — auftritt.
Die Jacobische Identität, deren Spezialfall die von uns verwendete Formel darstellt, spielt in der Theorie der kontinuierlichen Gruppen eine hervorragende Rolle (vgl. insbesondere S. Lie u. F. Engel: Theorie der Transformationsgruppen, Bd. I, Ii, Iii. Leipzig: B. G. Teubner, 1. Aufl. 1888–1893, 2. Aufl. 1930), worauf wir hier jedoch nicht näher eingehen können.
Zu Kapitel IX [§ 10]
(*) Radon, J.: Über eine besondere Art ebener konvexer Kurven. Leipziger Ber. 68, 123–128 (1916).
(* *)Blaschke, W.: Räumliche Variationsprobleme mit symmetrischer Transversalitätsbedingung. Ber. d. math.-phys. Kl. d. sächs. Ges. Wiss. Leipzig 68, 50— 55 (1916).
Blaschke, W.: Über affine Geometrie. Xxviii. Bestimmung aller Flächen, die von den umschriebenen Zylindern längs ebener Kurven berührt werden. Math. Z. 8, 115–122 (1920).
Zu Kapitel IX [§ 11]
(*) Berwald, L. : Über zweidimensionale allgemeine metrische Räume. Ii. J. reine angew. Math. 156. 211–222 (1927).
Duschek, A.: Zur geometrischen Variationsrechnung. Iii. Das Variationsproblem der Fm im Riemannschen Rn und eine Verallgemeinerung des Gauß-Bonnetschen Satzes. Math. Z. 40, 279– 291 (1935).
(* *)Hilbert, D. : Mathematische Probleme. Göttinger Nachr. 1900, S. 253 – 297 (Ges. Abhandl., Bd. Iii, S. 290–325. Berlin : Springer 1935) [4. Problem von der Geraden als kürzester Verbindung zweier Punkte].
Hamel, G. : Über Geometrien, in denen Geraden die kürzesten sind. Diss. Göttingen 1901 und Math. Ann. 57 (1903), 2 ;
Vgl. auch Kap. I, 3, § 3, 3.
(* * *)Funk, P. : Über Geometrien, bei denen die Geraden die kürzesten sind. Math. Ann. 101, 226–237 (1929).
Funk, P.: Über Geometrien, bei denen die Geraden die kürzesten Linien sind und die Äquidistanten zu einer Geraden wieder Gerade sind. Mh. Math. Phys. 37, 153–158 (1930).
Funk, P.: Über zweidimensionale Finslersche Räume, insbesondere über solche mit geradlinigen Extremalen und positiver konstanter Krümmung. Math. Z. 40, 586–593 (1935).
Funk, P.: Über Geometrien, vom Krümmungsmaß Null mit geradlinigen Extremalen. Anz. math.-naturw. Kl. Ost. Akad. Wiss. 1953, Nr. 11, 206–209.
Funk, P.: Eine Kennzeichnung der zweidimensionalen elliptischen Geometrie. Sitz. Ber. d. Österr. Akademie d. Wissenschaften, Mathem.-naturw. Klasse, Abt. II, 172 251–269 (1963).
Berwald, L. : Über die n-dimensionalen Geometrien konstanter Krümmung, in denen die Geraden die kürzesten sind. Math. Z. 30, 449–469 (1929).
Berwald, L.: Über eine charakteristische Eigenschaft der allgemeinen Räume konstanter Krümmung mit geradlinigen Extremalen. Mh. Math. Phys. 36, 315–330 (1929).
Berwald, L.: On Finsler and Cartan geometries Iii. Two dimensional Finsler spaces with rectilinear extremals. Ann. of Math. 42, 84–112 (1941).
Berwald, L.: Über Finslersche und Cartansche Geometrie Iv. (Nachgelassene Arbeit.) Ann. Math. 48, 755–781 (1947).
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Funk, P. (1970). Finslersche Geometrie. In: Variationsrechnung und ihre Anwendung in Physik und Technik. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol 94. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-88597-6_9
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